Taylor-Reihen-Rechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen
Der Taylor-Reihen-Rechner entwickelt Funktionen in ihre Taylor- oder Maclaurin-Reihe um einen gewählten Entwicklungspunkt. Er berechnet die Koeffizienten, das Restglied und den Konvergenzradius.
Geben Sie die Funktion, den Entwicklungspunkt und die gewünschte Ordnung ein, um die Reihenentwicklung mit allen Zwischenschritten zu erhalten.
So verwenden Sie den Taylor-Reihen-Rechner
- Geben Sie die Funktion ein (z.B. sin(x), exp(x), ln(1+x)).
- Wählen Sie den Entwicklungspunkt a (Standard ist a = 0 für Maclaurin-Reihe).
- Wählen Sie die Ordnung der Entwicklung (Anzahl der Terme).
- Klicken Sie auf "Berechnen", um die Taylor-Reihe zu erhalten.
Formel und Theorie
Die Taylor-Reihe einer Funktion f(x) um den Punkt a lautet: f(x) = Summe(f^(n)(a)/n! * (x-a)^n, n=0..unendlich). Für a = 0 spricht man von der Maclaurin-Reihe.
Die Koeffizienten werden aus den Ableitungen berechnet: c_n = f^(n)(a) / n!. Mehr Terme bedeuten bessere Approximation nahe a.
Der Konvergenzradius R bestimmt das Intervall, in dem die Reihe konvergiert. Berechnung mit dem Quotientenkriterium: R = lim |c_n / c_(n+1)|.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1: Exponentialfunktion
Aufgabe: Maclaurin-Reihe von e^x bis Grad 4.
Lösung: Alle Ableitungen bei x=0 ergeben 1. e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + ...
Antwort: 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24
Beispiel 2: Sinusfunktion
Aufgabe: Maclaurin-Reihe von sin(x) bis Grad 5.
Lösung: sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - ... Nur ungerade Potenzen.
Antwort: x - x^3/6 + x^5/120
Beispiel 3: Natürlicher Logarithmus
Aufgabe: ln(1+x) um x = 0 bis Grad 4.
Lösung: ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... Konvergenzradius R = 1.
Antwort: x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4