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Calculadora de Integral Doble — Soluciones Paso a Paso

La Calculadora de Integral Doble evalua integrales de dos variables sobre regiones rectangulares y no rectangulares. Ingrese la función, los límites de integración y obtenga el resultado con el procedimiento detallado.

La herramienta soporta regiones rectangulares, integrales iteradas con límites variables, cambio de orden de integración y cálculo de volúmenes bajo superficies. Es ideal para cursos de cálculo multivariable e ingeniería.

Cómo usar la Calculadora de Integral Doble

  1. Seleccione el modo de cálculo: región rectangular, integral iterada, cambio de orden o volumen.
  2. Ingrese la función f(x, y) utilizando la notación estándar (por ejemplo: x^2 + y^2, x*y, sin(x)*cos(y)).
  3. Especifique los límites de integración para x e y.
  4. Haga clic en "Calcular" para obtener el resultado numérico con el procedimiento.

Fórmula y Teoría

La integral doble de una función f(x, y) sobre una región R calcula el volumen entre la superficie z = f(x, y) y el plano xy. Se escribe como la integral integral de f(x,y) dA sobre R.

El Teorema de Fubini permite calcular una integral doble como integrales iteradas: primero se integra respecto a una variable manteniendo la otra fija, y luego se integra el resultado respecto a la segunda variable. El orden de integración puede cambiarse si los límites se ajustan correctamente.

Las aplicaciones de las integrales dobles incluyen el cálculo de áreas, volúmenes, masas de láminas con densidad variable, momentos de inercia y centros de masa.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Integral sobre región rectangular

Problema: Calcule la integral doble de f(x,y) = x*y sobre la región [0,2] x [0,3].

Solución: Integral de 0 a 2 de (integral de 0 a 3 de x*y dy) dx = integral de 0 a 2 de x*(9/2) dx = (9/2)*(4/2) = 9.

Respuesta: 9

Ejemplo 2: Integral con límites variables

Problema: Calcule la integral doble de f(x,y) = 1 sobre la región triangular con vértices (0,0), (1,0), (1,1).

Solución: Integral de 0 a 1 de (integral de 0 a x de 1 dy) dx = integral de 0 a 1 de x dx = 1/2.

Respuesta: 1/2 (área del triángulo)

Ejemplo 3: Volumen bajo una superficie

Problema: Calcule el volumen bajo z = 4 - x^2 - y^2 sobre el cuadrado [0,1] x [0,1].

Solución: Integral de 0 a 1 de (integral de 0 a 1 de (4-x^2-y^2) dy) dx = integral de 0 a 1 de (4-x^2-1/3) dx = 4 - 1/3 - 1/3 = 10/3.

Respuesta: 10/3 unidades cúbicas

Preguntas Frecuentes

¿Cuándo se puede cambiar el orden de integración?
Según el Teorema de Fubini, el orden puede cambiarse siempre que la función sea continua sobre la región de integración (o al menos integrable). Al cambiar el orden, los límites de integración deben recalcularse para describir la misma región.
¿Cuál es la diferencia entre integral doble e integral iterada?
La integral doble es un concepto geométrico (volumen bajo una superficie). La integral iterada es el método de cálculo: se realizan dos integraciones sucesivas. Fubini garantiza que ambas dan el mismo resultado bajo condiciones de continuidad.
¿Se pueden usar coordenadas polares en integrales dobles?
Sí, para regiones circulares o con simetría radial conviene usar coordenadas polares: x = r*cos(theta), y = r*sin(theta), dA = r dr d(theta). Esto simplifica enormemente integrales como la de exp(-x^2-y^2).