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Doppelter Integralrechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen

Der Doppelte Integralrechner berechnet Integrale von Funktionen mit zwei Variablen über rechteckige Bereiche. Er verwendet verschachtelte numerische Integration für genaue Ergebnisse.

Geben Sie eine Funktion mit zwei Variablen (z.B. x und y) ein, legen Sie die Grenzen für jede Variable fest und der Rechner berechnet das Doppelintegral. Dies ist nützlich für die Berechnung von Volumina, Oberflächeninhalten und anderen mehrdimensionalen Größen.

So verwenden Sie den Doppelten Integralrechner

  1. Geben Sie eine Funktion mit zwei Variablen ein (z.B. x^2 + y^2).
  2. Legen Sie die Integrationsgrenzen für die äußere Variable fest (z.B. x von a bis b).
  3. Legen Sie die Integrationsgrenzen für die innere Variable fest (z.B. y von c bis d).
  4. Klicken Sie auf "Berechnen", um das Doppelintegral numerisch auszuwerten.

Formel und Theorie

Ein Doppelintegral berechnet das Volumen zwischen dem Graphen einer Funktion f(x, y) und der xy-Ebene über einem bestimmten Bereich. Für rechteckige Bereiche kann es als iteriertes Integral geschrieben werden.

Der Satz von Fubini besagt, dass bei stetigen Funktionen die Reihenfolge der Integration vertauscht werden darf, ohne das Ergebnis zu ändern.

Numerisch wird das Doppelintegral durch verschachtelte Anwendung der Simpsonschen Regel berechnet, wobei zunächst die innere und dann die äußere Integration durchgeführt wird.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Doppelintegral eines Polynoms

Aufgabe: Berechnen Sie das Doppelintegral von x*y über [0,1] x [0,2].

Lösung: Inneres Integral: Integral von 0 bis 2 von x*y dy = x*[y^2/2] von 0 bis 2 = 2x. Äußeres Integral: Integral von 0 bis 1 von 2x dx = [x^2] von 0 bis 1 = 1.

Antwort: 1

Beispiel 2: Volumenberechnung

Aufgabe: Berechnen Sie das Doppelintegral von x^2 + y^2 über [0,1] x [0,1].

Lösung: Integral von 0 bis 1 von Integral von 0 bis 1 von (x^2 + y^2) dy dx = Integral von 0 bis 1 von (x^2 + 1/3) dx = 1/3 + 1/3 = 2/3.

Antwort: 2/3 (ungefähr 0,667)

Beispiel 3: Doppelintegral mit Konstante

Aufgabe: Berechnen Sie das Doppelintegral von 5 über [0,3] x [0,4].

Lösung: Das Integral einer Konstante über ein Rechteck ist die Konstante mal die Fläche: 5 * 3 * 4 = 60.

Antwort: 60

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Doppelintegral?
Ein Doppelintegral erweitert das Konzept des einfachen Integrals auf Funktionen mit zwei Variablen. Es berechnet das Volumen unter einer Fläche über einem bestimmten Bereich in der xy-Ebene.
Was ist der Satz von Fubini?
Der Satz von Fubini besagt, dass bei stetigen Funktionen die Reihenfolge der Integration vertauscht werden kann. Das bedeutet, Sie können zuerst nach x oder nach y integrieren und erhalten dasselbe Ergebnis.
Können Doppelintegrale auch über nicht-rechteckige Bereiche berechnet werden?
Ja, Doppelintegrale können über beliebige Bereiche berechnet werden, indem die Integrationsgrenzen als Funktionen der äußeren Variablen angegeben werden. Dieser Rechner beschränkt sich auf rechteckige Bereiche.