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Varianzrechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen

Der Varianzrechner berechnet die Varianz und Standardabweichung Ihrer Daten. Er unterstützt Populations- und Stichprobenvarianz, Häufigkeitstabellen und gruppierte Daten.

Geben Sie Ihre Daten ein und wählen Sie den Berechnungsmodus. Der Rechner zeigt alle Rechenschritte detailliert an.

So verwenden Sie den Varianzrechner

  1. Wählen Sie einen Berechnungsmodus: Populationsvarianz, Stichprobenvarianz, Häufigkeitstabelle oder gruppierte Daten.
  2. Für Populations- und Stichprobenvarianz geben Sie Ihre Daten durch Kommas getrennt ein (z.B. 4, 8, 6, 5, 3, 7). Populationsvarianz teilt durch N; Stichprobenvarianz teilt durch n-1.
  3. Für die Häufigkeitstabelle geben Sie Werte und zugehörige Häufigkeiten ein.
  4. Für gruppierte Daten geben Sie Untergrenzen, Obergrenzen und Häufigkeiten der Klassenintervalle ein.
  5. Die Ergebnisse umfassen Varianz, Standardabweichung, Mittelwert und einen vollständigen Lösungsweg.

Formel und Theorie

Die Varianz misst die durchschnittliche quadratische Abweichung jedes Datenpunkts vom Mittelwert. Sie quantifiziert die Streuung der Werte. Eine Varianz von Null bedeutet, dass alle Werte identisch sind.

Die Populationsvarianz verwendet die Formel sigma quadrat = Summe von (xi - mu) quadrat geteilt durch N. Dies wird verwendet, wenn man Daten für die gesamte Population hat.

Die Stichprobenvarianz verwendet die Bessel-Korrektur und teilt durch n-1: s quadrat = Summe von (xi - x quer) quadrat geteilt durch (n-1). Dies korrigiert die Verzerrung bei der Schätzung der Populationsvarianz aus einer Stichprobe.

Für gruppierte Daten wird die Varianz mit Klassenmittelpunkten als repräsentative Werte geschätzt, gewichtet nach ihrer Häufigkeit.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Populationsvarianz

Aufgabe: Berechnen Sie die Populationsvarianz von {2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9}.

Lösung: Mittelwert = 40/8 = 5. Quadrierte Abweichungen: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16. Summe = 32. Varianz = 32/8 = 4.

Antwort: Varianz = 4, SD = 2

Beispiel 2: Stichprobenvarianz

Aufgabe: Berechnen Sie die Stichprobenvarianz von {3, 7, 7, 19}.

Lösung: Mittelwert = 36/4 = 9. Quadrierte Abweichungen: 36, 4, 4, 100. Summe = 144. Stichprobenvarianz = 144/3 = 48.

Antwort: Varianz = 48, SD = 6,93

Beispiel 3: Varianz aus Häufigkeitstabelle

Aufgabe: Werte: 1, 2, 3, 4, 5 mit Häufigkeiten: 3, 5, 8, 4, 2. Populationsvarianz?

Lösung: Gewichteter Mittelwert = 63/22 = 2,864. Gewichtete SS = 28,409. Varianz = 28,409/22 = 1,291.

Antwort: Varianz = 1,291

Beispiel 4: Gruppierte Daten

Aufgabe: Klassen: 0-10, 10-20, 20-30 mit Häufigkeiten: 5, 12, 3. Populationsvarianz?

Lösung: Mittelpunkte: 5, 15, 25. Gewichteter Mittelwert = 14. SS = 780. Varianz = 780/20 = 39.

Antwort: Varianz = 39

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Beide messen die Streuung, aber die Standardabweichung hat die gleiche Einheit wie die Originaldaten.
Wann verwende ich Populations- vs. Stichprobenvarianz?
Verwenden Sie die Populationsvarianz, wenn Ihre Daten die gesamte Population umfassen. Verwenden Sie die Stichprobenvarianz, wenn Ihre Daten eine Teilmenge einer größeren Population sind.
Warum teilt die Stichprobenvarianz durch n-1?
Die Division durch n-1 (Bessel-Korrektur) korrigiert eine Verzerrung. Wenn der Stichprobenmittelwert statt des wahren Populationsmittelwerts verwendet wird, sind die quadrierten Abweichungen tendenziell zu klein.
Kann die Varianz negativ sein?
Nein. Die Varianz ist immer null oder positiv, da sie eine Summe quadrierter Differenzen ist.