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Zeilenstufenform-Rechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen

Der Zeilenstufenform-Rechner wandelt Matrizen in Zeilenstufenform (ZSF) und reduzierte Zeilenstufenform (RZSF) um. Er zeigt jeden Schritt der Gauß-Elimination mit Zeilenoperationen.

Geben Sie Ihre Matrix ein und erhalten Sie die umgewandelte Matrix mit Rang und Pivotpositionen.

Dimensions:

Enter matrix values

So verwenden Sie den Zeilenstufenform-Rechner

  1. Wählen Sie einen Modus: Zeilenstufenform (ZSF), Reduzierte Zeilenstufenform (RZSF) oder Schritt-für-Schritt-Operationen.
  2. Wählen Sie die Matrixgröße: 2x2, 2x3, 3x3, 3x4 (erweitert) oder 4x4.
  3. Geben Sie die Matrixwerte in das Gitter ein. Leere Zellen werden als Null behandelt.
  4. Der Rechner wendet die Gauß-Elimination mit Pivotisierung an und zeigt jede Zeilenoperation.
  5. Überprüfen Sie die resultierende Matrix, den Rang und die Pivotspalten.

Formel und Theorie

Eine Matrix ist in Zeilenstufenform (ZSF), wenn alle Nullzeilen unten stehen, der führende Eintrag (Pivot) jeder Nicht-Null-Zeile rechts vom Pivot der darüberliegenden Zeile liegt und alle Einträge unter jedem Pivot null sind.

Eine Matrix ist in reduzierter Zeilenstufenform (RZSF), wenn zusätzlich jeder Pivot 1 ist und der einzige von Null verschiedene Eintrag in seiner Spalte.

Die Gauß-Elimination transformiert eine Matrix in ZSF durch drei elementare Zeilenoperationen: Vertauschen zweier Zeilen, Multiplizieren einer Zeile mit einem Skalar und Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.

Die Gauß-Jordan-Elimination erweitert dies zur RZSF. Die RZSF ist für jede Matrix eindeutig.

Der Rang der Matrix entspricht der Anzahl der Pivotpositionen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: RZSF einer 2x2-Matrix

Aufgabe: Finden Sie die RZSF von [[2, 4], [1, 3]].

Lösung: R1 durch 1/2 teilen: [1, 2]. R2 = R2 - R1: [0, 1]. R1 = R1 - 2*R2: [1, 0].

Antwort: [[1, 0], [0, 1]]. Rang = 2.

Beispiel 2: ZSF einer 3x3-Matrix

Aufgabe: Finden Sie die ZSF von [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]].

Lösung: R2 = R2 - 4*R1, R3 = R3 - 7*R1. Dann skalieren und eliminieren.

Antwort: [[1, 2, 3], [0, 1, 2], [0, 0, 0]]. Rang = 2.

Beispiel 3: Erweiterte Matrix (3x4)

Aufgabe: Lösen Sie x + y + z = 6, 2x + 3y + z = 14, x + 2y + 3z = 14.

Lösung: Erweiterte Matrix [[1,1,1,6],[2,3,1,14],[1,2,3,14]] auf RZSF reduzieren.

Antwort: [[1,0,0,1],[0,1,0,2],[0,0,1,3]]. x=1, y=2, z=3.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen ZSF und RZSF?
ZSF hat Nullen unter jedem Pivot. RZSF verlangt zusätzlich, dass jeder Pivot 1 ist und der einzige Nicht-Null-Eintrag in seiner Spalte.
Ist die Zeilenstufenform eindeutig?
Nein, die ZSF ist nicht eindeutig. Die RZSF ist jedoch für jede Matrix eindeutig.
Was sagt der Rang aus?
Der Rang entspricht der Anzahl der Pivotpositionen und der Dimension des Spaltenraums. Für Ax = b hat das System eine eindeutige Lösung, wenn Rang(A) = Rang([A|b]) = n.
Was ist Pivotisierung?
Bei der Pivotisierung wird die Zeile mit dem betragsmäßig größten Wert in der aktuellen Spalte als Pivotzeile gewählt, um Rundungsfehler zu reduzieren.