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Calculadora de Forma Escalonada — Soluciones Paso a Paso

La Calculadora de Forma Escalonada convierte matrices a forma escalonada por filas (FE) y forma escalonada reducida (FER). Muestra cada paso de la eliminación Gaussiana con operaciones de fila.

Ingrese su matriz y obtenga la transformación con rango y posiciones de pivote.

Dimensions:

Enter matrix values

Cómo usar la Calculadora de Forma Escalonada

  1. Seleccione un modo: Forma Escalonada (FE), Forma Escalonada Reducida (FER) u Operaciones Paso a Paso.
  2. Elija el tamaño de la matriz: 2x2, 2x3, 3x3, 3x4 (aumentada) o 4x4.
  3. Ingrese los valores en la cuadrícula. Las celdas vacías se tratan como cero.
  4. La calculadora aplica eliminación Gaussiana con pivoteo parcial y muestra cada operación.
  5. Revise la matriz resultante, el rango y las columnas pivote.

Fórmula y Teoría

Una matriz está en forma escalonada (FE) cuando todas las filas nulas están al final, la entrada principal (pivote) de cada fila no nula está a la derecha del pivote de la fila superior y todas las entradas debajo son cero.

Una matriz está en forma escalonada reducida (FER) cuando además cada pivote es 1 y es la única entrada no nula en su columna.

La eliminación Gaussiana transforma una matriz en FE mediante tres operaciones elementales: intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar y sumar un múltiplo escalar de una fila a otra.

La eliminación Gauss-Jordan extiende esto para producir FER. La FER es única para cualquier matriz.

El rango de la matriz es igual al número de posiciones pivote.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: FER de una matriz 2x2

Problema: Encuentre la FER de [[2, 4], [1, 3]].

Solución: Dividir R1 entre 2: [1, 2]. R2 = R2 - R1: [0, 1]. R1 = R1 - 2*R2: [1, 0].

Respuesta: [[1, 0], [0, 1]]. Rango = 2.

Ejemplo 2: FE de una matriz 3x3

Problema: Encuentre la FE de [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]].

Solución: R2 = R2 - 4*R1, R3 = R3 - 7*R1. Escalar y eliminar.

Respuesta: [[1, 2, 3], [0, 1, 2], [0, 0, 0]]. Rango = 2.

Ejemplo 3: Matriz aumentada (3x4)

Problema: Resuelva x + y + z = 6, 2x + 3y + z = 14, x + 2y + 3z = 14.

Solución: Matriz aumentada [[1,1,1,6],[2,3,1,14],[1,2,3,14]] reducir a FER.

Respuesta: [[1,0,0,1],[0,1,0,2],[0,0,1,3]]. x=1, y=2, z=3.

Preguntas Frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre FE y FER?
FE tiene ceros debajo de cada pivote. FER requiere además que cada pivote sea 1 y sea la única entrada no nula en su columna.
¿Es única la forma escalonada?
No, la FE no es única. Sin embargo, la FER es única para cualquier matriz.
¿Qué me dice el rango?
El rango es el número de posiciones pivote y la dimensión del espacio columna. Para Ax = b, el sistema tiene solución única si rango(A) = rango([A|b]) = n.
¿Qué es el pivoteo parcial?
El pivoteo parcial selecciona la fila con el mayor valor absoluto en la columna actual como fila pivote para reducir errores de redondeo.