Quadratische Formel Rechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen
Der Rechner für die quadratische Formel löst Gleichungen der Form ax^2 + bx + c = 0 mit der Mitternachtsformel (abc-Formel). Er berechnet die Nullstellen, den Scheitelpunkt, die Diskriminante und die faktorisierte Form.
Geben Sie die Koeffizienten a, b und c ein, um eine vollständige Lösung mit Schritt-für-Schritt-Erklärung zu erhalten.
Enter coefficients for ax² + bx + c = 0
So verwenden Sie den Quadratische-Formel-Rechner
- Wählen Sie den Modus: Gleichung lösen, Scheitelpunktform, faktorisierte Form, Diskriminante oder Summe und Produkt.
- Geben Sie die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Gleichung ein.
- Klicken Sie auf "Berechnen", um die Lösungen zu erhalten.
- Das Ergebnis zeigt alle Nullstellen, den Scheitelpunkt und detaillierte Rechenschritte.
Formel und Theorie
Die quadratische Formel (Mitternachtsformel) lautet: x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a). Sie liefert die Nullstellen jeder quadratischen Gleichung ax^2 + bx + c = 0.
Die Diskriminante D = b^2 - 4ac bestimmt die Art der Lösungen: D > 0 ergibt zwei reelle Lösungen, D = 0 eine doppelte Nullstelle, D < 0 zwei komplexe Lösungen.
Die Scheitelpunktform lautet y = a(x - h)^2 + k, wobei h = -b/(2a) und k = c - b^2/(4a). Der Scheitelpunkt ist das Minimum (a > 0) oder Maximum (a < 0) der Parabel.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1: Zwei reelle Lösungen
Aufgabe: Lösen Sie x^2 - 5x + 6 = 0.
Lösung: a=1, b=-5, c=6. D = 25 - 24 = 1. x = (5 +/- 1) / 2. x1 = 3, x2 = 2.
Antwort: x = 2 und x = 3
Beispiel 2: Doppelte Nullstelle
Aufgabe: Lösen Sie x^2 - 6x + 9 = 0.
Lösung: a=1, b=-6, c=9. D = 36 - 36 = 0. x = 6 / 2 = 3.
Antwort: x = 3 (doppelte Nullstelle)
Beispiel 3: Komplexe Lösungen
Aufgabe: Lösen Sie x^2 + 4 = 0.
Lösung: a=1, b=0, c=4. D = -16. x = +/- 2i.
Antwort: x = 2i und x = -2i