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Normalverteilungsrechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen

Der Normalverteilungsrechner berechnet Wahrscheinlichkeiten und Perzentile der Gaußschen Glockenkurve.

Geben Sie Mittelwert, Standardabweichung und Bereich ein.

So verwenden Sie den Normalverteilungsrechner

  1. Wählen Sie den Modus: "Wahrscheinlichkeit zwischen" berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert zwischen zwei Grenzen liegt. "Perzentil" bestimmt den Prozentsatz der Werte unterhalb eines Wertes. "Inverse" findet den Wert zu einer gegebenen kumulativen Wahrscheinlichkeit.
  2. Geben Sie den Mittelwert (mu) und die Standardabweichung (sigma) Ihrer Normalverteilung ein.
  3. Geben Sie die zusätzlichen Eingaben ein, die Ihr gewählter Modus erfordert.
  4. Überprüfen Sie die Ergebnisse, den Lösungsweg und die Glockenkurve mit schattiertem Bereich.

Formel und Theorie

Die Normalverteilung (auch Gaußsche Verteilung) ist die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. Sie wird durch zwei Parameter definiert: den Mittelwert (mu), der das Zentrum bestimmt, und die Standardabweichung (sigma), die die Streuung festlegt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in einen bestimmten Bereich fällt, entspricht der Fläche unter der Kurve zwischen den Grenzen. Da die CDF keine geschlossene Form hat, wird sie numerisch berechnet.

Wichtige Eigenschaften: Die Verteilung ist symmetrisch um den Mittelwert, Mittelwert = Median = Modus. Die 68-95-99.7-Regel besagt, dass etwa 68% der Werte innerhalb einer, 95% innerhalb zwei und 99.7% innerhalb drei Standardabweichungen liegen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Werten

Aufgabe: IQ-Werte folgen einer Normalverteilung mit mu = 100 und sigma = 15. Welcher Anteil hat einen IQ zwischen 85 und 115?

Lösung: Z-Transformation: z1 = (85-100)/15 = -1, z2 = (115-100)/15 = 1. P(-1 < Z < 1) = 0.6827.

Antwort: Etwa 68.27% haben einen IQ zwischen 85 und 115

Beispiel 2: Perzentilberechnung

Aufgabe: Bei mu = 50 und sigma = 8: welches Perzentil ist ein Wert von 62?

Lösung: z = (62-50)/8 = 1.5. P(Z < 1.5) = 0.9332.

Antwort: Ein Wert von 62 liegt am 93.32. Perzentil

Beispiel 3: Inverse Normalverteilung

Aufgabe: Körpergröße von Männern: mu = 175 cm, sigma = 7 cm. Welche Größe markiert die oberen 10%?

Lösung: 90. Perzentil: z = 1.2816. Größe = 175 + 1.2816 * 7 = 183.97 cm.

Antwort: Die oberen 10% sind größer als etwa 184 cm

Beispiel 4: Praxisbeispiel: Produktionstoleranz

Aufgabe: Schraubenlänge mu = 25 mm, sigma = 0.2 mm. Welcher Anteil liegt zwischen 24.6 und 25.4 mm?

Lösung: z1 = (24.6-25)/0.2 = -2, z2 = (25.4-25)/0.2 = 2. P(-2 < Z < 2) = 0.9544.

Antwort: Etwa 95.44% der Schrauben liegen im Toleranzbereich

Häufig gestellte Fragen

Was ist die 68-95-99.7-Regel?
In einer Normalverteilung liegen etwa 68% der Daten innerhalb einer Standardabweichung, 95% innerhalb zwei und 99.7% innerhalb drei Standardabweichungen vom Mittelwert. Dies ermöglicht schnelle Wahrscheinlichkeitsschätzungen.
Was ist die Standardnormalverteilung?
Die Standardnormalverteilung ist der Spezialfall mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Jede Normalverteilung kann durch Z-Transformation umgerechnet werden.
Woran erkenne ich, ob meine Daten normalverteilt sind?
Visuelle Methoden (Histogramm, Q-Q-Plot) oder formale Tests (Shapiro-Wilk, Anderson-Darling) können verwendet werden. Viele natürliche Phänomene sind dank des zentralen Grenzwertsatzes annähernd normalverteilt.
Kann die Normalverteilung negative Werte erzeugen?
Ja. Die Normalverteilung erstreckt sich theoretisch von minus unendlich bis plus unendlich. Bei der Modellierung nicht-negativer Größen (z.B. Körpergröße) funktioniert sie als Näherung, wenn der Mittelwert mehrere Standardabweichungen über null liegt.
Welche numerische Methode verwendet dieser Rechner?
Dieser Rechner verwendet die Abramowitz-Stegun-Approximation für die kumulative Verteilungsfunktion und den Acklam-Algorithmus für die inverse CDF, beide mit einer Genauigkeit von mindestens 8 signifikanten Stellen.