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Matrixrechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen

Der Matrixrechner führt alle gängigen Matrixoperationen durch: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Determinantenberechnung, Inverse und Transponierung.

Der Rechner unterstützt Matrizen beliebiger Größe und liefert Schritt-für-Schritt-Lösungen.

Matrix size:
Operation:

Matrix A

Matrix B

A + B
[[0, 0], [0, 0]]

So verwenden Sie den Matrixrechner

  1. Wählen Sie die Matrixoperation: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Determinante, Transponierung oder RREF.
  2. Wählen Sie die Matrixgröße (2x2, 3x3 oder 4x4).
  3. Geben Sie die Werte in jede Zelle des Matrixgitters ein.
  4. Klicken Sie auf "Berechnen", um das Ergebnis mit Schritt-für-Schritt-Lösung zu sehen.

Formel und Theorie

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten. Matrizen sind grundlegend für die lineare Algebra und werden in Physik, Informatik, Computergrafik und Datenwissenschaft eingesetzt.

Addition und Subtraktion erfordern Matrizen gleicher Dimension und erfolgen elementweise. Bei der Multiplikation muss die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenanzahl der zweiten sein. A(m x n) * B(n x p) ergibt eine m x p-Matrix.

Die Determinante ist ein Skalarwert einer quadratischen Matrix. Sie zeigt an, ob die Matrix invertierbar ist (det ungleich 0). Geometrisch beschreibt sie den Flächeninhalt (2D) oder das Volumen (3D) der aufgespannten Figur.

Die Zeilenstufenform (RREF) wird durch den Gauß-Algorithmus erreicht und dient zum Lösen linearer Gleichungssysteme, zur Rangbestimmung und zur Prüfung linearer Unabhängigkeit.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Matrixaddition

Aufgabe: [[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]]

Lösung: [[1+5, 2+6], [3+7, 4+8]]

Antwort: [[6, 8], [10, 12]]

Beispiel 2: 2x2-Determinante

Aufgabe: det([[3,1],[2,5]])

Lösung: det = (3)(5) - (1)(2) = 15 - 2

Antwort: 13

Beispiel 3: Transponierung

Aufgabe: Transponiere [[1,2,3],[4,5,6]]

Lösung: Zeilen und Spalten tauschen

Antwort: [[1,4],[2,5],[3,6]]

Beispiel 4: Matrixmultiplikation

Aufgabe: [[1,2],[3,4]] * [[5,6],[7,8]]

Lösung: [[1*5+2*7, 1*6+2*8], [3*5+4*7, 3*6+4*8]]

Antwort: [[19, 22], [43, 50]]

Beispiel 5: Praxisbeispiel: Computergrafik

Aufgabe: Einen Punkt (3,4) um 90 Grad drehen mit Rotationsmatrix [[0,-1],[1,0]]

Lösung: [[0,-1],[1,0]] * [[3],[4]] = [[-4],[3]]

Antwort: Neuer Punkt: (-4, 3)

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Determinante einer Matrix?
Die Determinante ist ein Skalarwert einer quadratischen Matrix. Sie zeigt an, ob die Matrix invertierbar ist (Determinante ungleich null) und wird bei Gleichungssystemen, Eigenwertberechnungen und Volumenberechnung verwendet.
Wann kann man zwei Matrizen multiplizieren?
Matrix A (m x n) kann mit Matrix B (p x q) multipliziert werden, wenn n = p gilt. Das Ergebnis ist eine m x q-Matrix. Die Reihenfolge ist wichtig, da Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist.
Was ist RREF und wofür wird es verwendet?
Die reduzierte Zeilenstufenform wird zum Lösen linearer Gleichungssysteme, zur Rangbestimmung, zur Prüfung linearer Unabhängigkeit und zur Berechnung der Inversen verwendet.
Ist Matrixmultiplikation kommutativ?
Nein. Im Allgemeinen ist A * B ungleich B * A. Dies ist einer der wichtigsten Unterschiede zwischen Matrix- und Skalararithmetik.
Wo werden Matrizen im Alltag eingesetzt?
Matrizen werden in Computergrafik (Transformationen), Maschinellem Lernen (Datenverarbeitung), Physik (Quantenmechanik) und Wirtschaft (Optimierung) eingesetzt.