Integralrechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen
Der Integralrechner berechnet unbestimmte Integrale (Stammfunktionen) mathematischer Funktionen. Er verarbeitet Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen und viele weitere gängige Funktionstypen.
Geben Sie Ihre Funktion und die Integrationsvariable ein, um die Stammfunktion zu finden. Die Ergebnisse werden in klarer mathematischer Notation einschließlich der Integrationskonstante dargestellt.
So verwenden Sie den Integralrechner
- Geben Sie die zu integrierende Funktion in das Eingabefeld ein.
- Wählen Sie die Integrationsvariable (Standard ist x).
- Klicken Sie auf "Berechnen", um die Stammfunktion zu erhalten.
- Das Ergebnis enthält die Integrationskonstante C.
Formel und Theorie
Integration ist die Umkehroperation der Differentiation. Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) ist die Menge aller Stammfunktionen F(x), für die gilt: F'(x) = f(x).
Grundlegende Integrationsregeln umfassen die Potenzregel (Integral von x^n = x^(n+1)/(n+1) + C für n ungleich -1), die Linearität des Integrals und bekannte Stammfunktionen wie die der trigonometrischen und exponentiellen Funktionen.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Integration und Differentiation: Das bestimmte Integral von a bis b von f(x) dx = F(b) - F(a), wobei F eine Stammfunktion von f ist.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1: Integration eines Polynoms
Aufgabe: Berechnen Sie das Integral von 3x^2 + 2x - 1.
Lösung: Potenzregel auf jeden Term anwenden: Integral = x^3 + x^2 - x + C.
Antwort: x^3 + x^2 - x + C
Beispiel 2: Integration einer trigonometrischen Funktion
Aufgabe: Berechnen Sie das Integral von cos(x).
Lösung: Die Stammfunktion von cos(x) ist sin(x): Integral = sin(x) + C.
Antwort: sin(x) + C
Beispiel 3: Integration einer Exponentialfunktion
Aufgabe: Berechnen Sie das Integral von e^x.
Lösung: Die Exponentialfunktion e^x ist ihre eigene Stammfunktion: Integral = e^x + C.
Antwort: e^x + C