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Eigenwertrechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen

Der Eigenwertrechner berechnet die Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen. Geben Sie eine 2x2 oder 3x3 Matrix ein und erhalten Sie alle Eigenwerte (einschließlich komplexer) sowie die zugehörigen Eigenvektoren.

Eigenwerte und Eigenvektoren sind grundlegende Konzepte der linearen Algebra mit Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen, Informatik, Statistik und vielen weiteren Bereichen.

Enter the 2\u00d72 matrix elements:

\u03bb\u2081
0
\u03bb\u2082
0
Trace
0
Determinant
0

So verwenden Sie den Eigenwertrechner

  1. Wählen Sie die Größe der Matrix (2x2 oder 3x3).
  2. Geben Sie die Matrixeinträge in die Felder ein.
  3. Klicken Sie auf "Berechnen", um Eigenwerte und Eigenvektoren zu erhalten.
  4. Die Ergebnisse zeigen alle Eigenwerte mit den zugehörigen Eigenvektoren.

Formel und Theorie

Ein Eigenwert lambda einer Matrix A ist eine Zahl, für die es einen Vektor v ungleich Null gibt mit: A*v = lambda*v. Der Vektor v heißt Eigenvektor zum Eigenwert lambda.

Eigenwerte werden durch Lösen der charakteristischen Gleichung det(A - lambda*I) = 0 bestimmt, wobei I die Einheitsmatrix ist. Für eine 2x2 Matrix ergibt sich eine quadratische Gleichung, für eine 3x3 Matrix eine kubische.

Eigenvektoren werden gefunden, indem für jeden Eigenwert lambda das homogene Gleichungssystem (A - lambda*I)*v = 0 gelöst wird. Die Menge aller Eigenvektoren zu einem Eigenwert bildet den Eigenraum.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Eigenwerte einer 2x2 Matrix

Aufgabe: Finden Sie die Eigenwerte von A = [[4, 1], [2, 3]].

Lösung: Charakteristische Gleichung: det([[4-lambda, 1], [2, 3-lambda]]) = (4-lambda)(3-lambda) - 2 = lambda^2 - 7*lambda + 10 = 0. Lösungen: lambda = 5 und lambda = 2.

Antwort: lambda_1 = 5, lambda_2 = 2

Beispiel 2: Eigenvektoren bestimmen

Aufgabe: Finden Sie die Eigenvektoren von A = [[2, 1], [0, 3]].

Lösung: Eigenwerte: lambda_1 = 2, lambda_2 = 3. Für lambda_1 = 2: (A-2I)v = 0 ergibt v = t*(1, 0). Für lambda_2 = 3: (A-3I)v = 0 ergibt v = t*(1, 1).

Antwort: v_1 = (1, 0), v_2 = (1, 1)

Beispiel 3: Komplexe Eigenwerte

Aufgabe: Finden Sie die Eigenwerte von A = [[0, -1], [1, 0]].

Lösung: Charakteristische Gleichung: lambda^2 + 1 = 0. Lösungen: lambda = i und lambda = -i.

Antwort: lambda_1 = i, lambda_2 = -i (komplexe Eigenwerte)

Häufig gestellte Fragen

Kann eine Matrix komplexe Eigenwerte haben?
Ja, reelle Matrizen können komplexe Eigenwerte haben. Sie treten immer als konjugiert komplexe Paare auf (a+bi und a-bi). Zum Beispiel hat eine Rotationsmatrix rein komplexe Eigenwerte.
Was sagen Eigenwerte über eine Matrix aus?
Eigenwerte beschreiben, wie die Matrix Vektoren in Richtung der Eigenvektoren skaliert. Ein Eigenwert von 2 bedeutet eine Verdopplung, -1 eine Umkehrung. Die Determinante ist das Produkt aller Eigenwerte, die Spur ihre Summe.
Was ist Diagonalisierung?
Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. Dann kann A als P*D*P^(-1) geschrieben werden, wobei D die Diagonalmatrix der Eigenwerte und P die Matrix der Eigenvektoren ist.