Saltar al contenido

Calculadora de Valores Propios — Soluciones Paso a Paso

La Calculadora de Valores Propios calcula los valores propios (autovalores) y vectores propios (autovectores) de matrices cuadradas. Ingrese una matriz 2x2 o 3x3 y obtenga todos los valores propios, incluyendo los complejos, junto con sus vectores propios asociados.

Los valores propios y vectores propios son conceptos fundamentales del álgebra lineal con aplicaciones en física, ingeniería, ciencia de datos, estadística y muchas otras áreas.

Enter the 2\u00d72 matrix elements:

\u03bb\u2081
0
\u03bb\u2082
0
Trace
0
Determinant
0

Cómo usar la Calculadora de Valores Propios

  1. Seleccione el tamaño de la matriz (2x2 o 3x3).
  2. Ingrese los valores de la matriz en los campos correspondientes.
  3. Haga clic en "Calcular" para obtener los valores propios y vectores propios.
  4. Los resultados muestran todos los valores propios con sus vectores propios asociados.

Fórmula y Teoría

Un valor propio lambda de una matriz A es un número para el cual existe un vector v distinto de cero tal que: A*v = lambda*v. El vector v se denomina vector propio asociado al valor propio lambda.

Los valores propios se determinan resolviendo la ecuación característica det(A - lambda*I) = 0, donde I es la matriz identidad. Para una matriz 2x2 se obtiene una ecuación cuadrática, y para una 3x3 una ecuación cúbica.

Los vectores propios se encuentran resolviendo el sistema homogéneo (A - lambda*I)*v = 0 para cada valor propio lambda. El conjunto de todos los vectores propios asociados a un valor propio forma el espacio propio.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Valores propios de una matriz 2x2

Problema: Encuentre los valores propios de A = [[4, 1], [2, 3]].

Solución: Ecuación característica: det([[4-lambda, 1], [2, 3-lambda]]) = (4-lambda)(3-lambda) - 2 = lambda^2 - 7*lambda + 10 = 0. Soluciones: lambda = 5 y lambda = 2.

Respuesta: lambda_1 = 5, lambda_2 = 2

Ejemplo 2: Vectores propios

Problema: Encuentre los vectores propios de A = [[2, 1], [0, 3]].

Solución: Valores propios: lambda_1 = 2, lambda_2 = 3. Para lambda_1 = 2: (A-2I)v = 0 da v = t*(1, 0). Para lambda_2 = 3: (A-3I)v = 0 da v = t*(1, 1).

Respuesta: v_1 = (1, 0), v_2 = (1, 1)

Ejemplo 3: Valores propios complejos

Problema: Encuentre los valores propios de A = [[0, -1], [1, 0]].

Solución: Ecuación característica: lambda^2 + 1 = 0. Soluciones: lambda = i y lambda = -i.

Respuesta: lambda_1 = i, lambda_2 = -i (valores propios complejos)

Preguntas Frecuentes

¿Puede una matriz tener valores propios complejos?
Sí, las matrices reales pueden tener valores propios complejos. Siempre aparecen como pares conjugados (a+bi y a-bi). Por ejemplo, una matriz de rotación tiene valores propios puramente complejos.
¿Qué información dan los valores propios sobre una matriz?
Los valores propios describen cómo la matriz escala los vectores en la dirección de los vectores propios. Un valor propio de 2 significa duplicación, -1 significa inversión. El determinante es el producto de todos los valores propios, y la traza es su suma.
¿Qué es la diagonalización?
Una matriz A es diagonalizable si posee n vectores propios linealmente independientes. Entonces A puede escribirse como P*D*P^(-1), donde D es la matriz diagonal de valores propios y P es la matriz de vectores propios.