Zum Inhalt springen

Komplexe-Zahlen-Rechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen

Der Komplexe-Zahlen-Rechner führt Berechnungen mit komplexen Zahlen durch: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Betrag und Polarform.

Geben Sie komplexe Zahlen in der Form a + bi ein.

First complex number (a + bi):

Second complex number (c + di):

So verwenden Sie den Komplexe-Zahlen-Rechner

  1. Wählen Sie den Berechnungsmodus: Arithmetik, Betrag und Konjugierte, Polarform, Potenzen und Wurzeln, oder Euler-Form.
  2. Geben Sie den Realteil und den Imaginärteil Ihrer komplexen Zahl(en) ein.
  3. Für arithmetische Operationen wählen Sie die gewünschte Rechenart (Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division).
  4. Das Ergebnis wird mit Schritt-für-Schritt-Lösung in KaTeX-Notation angezeigt.

Formel und Theorie

Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + bi, wobei a der Realteil, b der Imaginärteil und i die imaginäre Einheit mit i^2 = -1 ist. Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen und ermöglichen das Lösen von Gleichungen wie x^2 + 1 = 0.

Der Betrag |z| = sqrt(a^2 + b^2) gibt den Abstand zum Ursprung in der Gaußschen Zahlenebene an. Die konjugiert komplexe Zahl z* = a - bi hat den gleichen Betrag, aber entgegengesetztes Vorzeichen des Imaginärteils.

Jede komplexe Zahl kann in Polarform als z = r*(cos(theta) + i*sin(theta)) geschrieben werden, wobei r der Betrag und theta das Argument ist. Die Euler-Formel verbindet dies mit der Exponentialform: e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta).

Der Satz von De Moivre ermöglicht effizientes Potenzieren: [r*cis(theta)]^n = r^n * cis(n*theta). Damit lassen sich auch n-te Wurzeln komplexer Zahlen berechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Komplexe Multiplikation

Aufgabe: (3 + 2i)(1 - 4i)

Lösung: 3 - 12i + 2i - 8i^2 = 3 - 10i + 8 = 11 - 10i

Antwort: 11 - 10i

Beispiel 2: Betrag berechnen

Aufgabe: |3 + 4i|

Lösung: sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25)

Antwort: 5

Beispiel 3: Polarform

Aufgabe: 1 + i in Polarform umwandeln

Lösung: r = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2). theta = arctan(1/1) = 45 Grad.

Antwort: sqrt(2) * cis(45 Grad)

Beispiel 4: Praxisbeispiel: Wechselstrom

Aufgabe: Impedanz Z = 3 + 4j Ohm. Berechnen Sie den Betrag und den Phasenwinkel.

Lösung: |Z| = sqrt(9 + 16) = 5 Ohm. theta = arctan(4/3) = 53.13 Grad.

Antwort: |Z| = 5 Ohm, Phasenwinkel = 53.13 Grad

Häufig gestellte Fragen

Was ist die imaginäre Einheit i?
Die imaginäre Einheit i ist definiert als i^2 = -1. Sie ermöglicht das Rechnen mit Wurzeln aus negativen Zahlen, was im Bereich der reellen Zahlen nicht möglich ist.
Wofür braucht man komplexe Zahlen?
Komplexe Zahlen sind unverzichtbar in der Elektrotechnik (Wechselstromkreise), Quantenmechanik, Signalverarbeitung, Regelungstechnik und bei der Lösung algebraischer Gleichungen.
Was bedeutet konjugiert komplex?
Die konjugiert komplexe Zahl z* = a - bi entsteht durch Vorzeichenwechsel des Imaginärteils. Das Produkt z * z* = a^2 + b^2 ist immer eine reelle Zahl. Konjugierte werden bei der Division komplexer Zahlen verwendet.
Was ist die Euler-Formel?
Die Euler-Formel lautet e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta). Sie verbindet die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen und ist eine der elegantesten Formeln der Mathematik.
Wie dividiert man komplexe Zahlen?
Man multipliziert Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. Dadurch wird der Nenner reell und das Ergebnis kann als a + bi geschrieben werden.