Calculadora de Números Complejos — Soluciones Paso a Paso
La Calculadora de Números Complejos realiza operaciones con números complejos: suma, resta, multiplicación, división, módulo y forma polar.
Ingrese números en la forma a + bi.
Cómo usar la Calculadora de Números Complejos
- Seleccione el modo de cálculo: Aritmética, Módulo y Conjugado, Forma Polar, Potencias y Raíces, o Forma de Euler.
- Ingrese la parte real e imaginaria de sus números complejos.
- Para operaciones aritméticas, seleccione la operación deseada (suma, resta, multiplicación o división).
- Vea el resultado con el procedimiento paso a paso en notación KaTeX.
Fórmula y Teoría
Un número complejo tiene la forma z = a + bi, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria, e i es la unidad imaginaria que cumple i^2 = -1. Los números complejos extienden los reales y permiten resolver ecuaciones como x^2 + 1 = 0.
El módulo |z| = sqrt(a^2 + b^2) representa la distancia al origen en el plano complejo. El conjugado z* = a - bi tiene el mismo módulo pero signo opuesto en la parte imaginaria.
Todo número complejo puede escribirse en forma polar como z = r(cos(theta) + i*sin(theta)). La fórmula de Euler conecta esto con la forma exponencial: e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta).
El teorema de De Moivre permite calcular potencias: [r*cis(theta)]^n = r^n * cis(n*theta). También permite calcular raíces n-ésimas de números complejos.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Multiplicación
Problema: (3 + 2i)(1 - 4i)
Solución: 3 - 12i + 2i - 8i^2 = 3 - 10i + 8 = 11 - 10i
Respuesta: 11 - 10i
Ejemplo 2: Módulo
Problema: Calcule |3 + 4i|
Solución: sqrt(9 + 16) = sqrt(25)
Respuesta: 5
Ejemplo 3: Forma polar
Problema: Convierta 1 + i a forma polar
Solución: r = sqrt(2). theta = 45 grados.
Respuesta: sqrt(2) * cis(45 grados)
Ejemplo 4: Ejemplo práctico: circuitos AC
Problema: Impedancia Z = 3 + 4j ohmios. Calcule módulo y ángulo de fase.
Solución: |Z| = 5 ohmios. theta = arctan(4/3) = 53.13 grados.
Respuesta: |Z| = 5 ohmios, ángulo = 53.13 grados