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Binomialrechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen

Der Binomialrechner berechnet Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung für n Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Ergebnisse: P(X=k), P(X<=k), P(X>=k), Erwartungswert und Standardabweichung.

So verwenden Sie den Binomialrechner

  1. Wählen Sie den Modus: "Exakte P(X=k)" berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge, "Kumulativ (<=k)" summiert von 0 bis k, "Kumulativ (>=k)" summiert von k bis n, "Erwartungswert" liefert Mittelwert, Varianz und Standardabweichung.
  2. Geben Sie die Anzahl der Versuche (n) und die Erfolgswahrscheinlichkeit (p, zwischen 0 und 1) ein. Für andere Modi als Erwartungswert geben Sie auch die Anzahl der Erfolge (k) ein.
  3. Ergebnisse erscheinen sofort, einschließlich eines Balkendiagramms, das die Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellt.
  4. Überprüfen Sie den Schritt-für-Schritt-Lösungsweg, um die Anwendung der Binomialformel zu verstehen.

Formel und Theorie

Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche, wobei jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat. Sie benötigt zwei Parameter: n (Anzahl der Versuche) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch).

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), wobei C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) der Binomialkoeffizient ist. Diese Formel zählt die Möglichkeiten, k Erfolge auszuwählen, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisfolge.

Der Erwartungswert ist E(X) = n*p, die Varianz Var(X) = n*p*(1-p) und die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz. Für große n und p nicht zu nahe an 0 oder 1 nähert sich die Binomialverteilung einer Normalverteilung an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Exakte Wahrscheinlichkeit

Aufgabe: Eine Münze wird 10-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau 7 Köpfe?

Lösung: n = 10, k = 7, p = 0.5. P(X=7) = C(10,7) * 0.5^7 * 0.5^3 = 120 * 0.0078125 * 0.125 = 0.1172.

Antwort: P(X=7) = 0.1172 (etwa 11.72%)

Beispiel 2: Kumulative Wahrscheinlichkeit

Aufgabe: Ein Multiple-Choice-Test hat 20 Fragen mit je 4 Antworten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, durch Raten höchstens 8 richtig zu haben?

Lösung: n = 20, p = 0.25, k = 8. Summe P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=8).

Antwort: P(X <= 8) = 0.9591 (etwa 95.91%)

Beispiel 3: Erwartungswert

Aufgabe: Ein fairer Würfel wird 60-mal geworfen. Wie viele Sechsen sind zu erwarten?

Lösung: n = 60, p = 1/6. E(X) = 60 * (1/6) = 10. Var(X) = 60 * (1/6) * (5/6) = 8.333.

Antwort: Erwartungswert = 10, Standardabweichung = 2.887

Beispiel 4: Praxisbeispiel: Qualitätskontrolle

Aufgabe: Eine Produktionslinie hat eine Fehlerrate von 2%. In einer Stichprobe von 50 Stück: wie wahrscheinlich sind 0 Fehler?

Lösung: n = 50, p = 0.02, k = 0. P(X=0) = C(50,0) * 0.02^0 * 0.98^50 = 0.98^50 = 0.3642.

Antwort: P(X=0) = 0.3642 (etwa 36.42%)

Häufig gestellte Fragen

Wann sollte ich die Binomialverteilung verwenden?
Verwenden Sie sie, wenn Sie eine feste Anzahl unabhängiger Versuche haben, jeder Versuch genau zwei Ergebnisse hat (Erfolg/Misserfolg) und die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant ist.
Was ist der Unterschied zwischen exakter und kumulativer Wahrscheinlichkeit?
Die exakte Wahrscheinlichkeit P(X=k) ist die Chance für genau k Erfolge. Die kumulative Wahrscheinlichkeit P(X<=k) ist die Chance für k oder weniger Erfolge, berechnet durch Summation aller exakten Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k.
Kann n sehr groß sein?
Ja, aber die Berechnung kann für extrem großes n langsam werden. Für großes n wird oft die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur verwendet.
Was passiert bei p = 0 oder p = 1?
Bei p = 0 scheitert jeder Versuch, P(X=0) = 1. Bei p = 1 gelingt jeder Versuch, P(X=n) = 1. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten sind 0.
Wann kann ich die Normalapproximation verwenden?
Die Normalapproximation ist sinnvoll, wenn n*p >= 5 und n*(1-p) >= 5. Verwenden Sie mu = n*p und sigma = sqrt(n*p*(1-p)) mit Stetigkeitskorrektur.