Ableitungsrechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen
Der Ableitungsrechner berechnet die Ableitung jeder mathematischen Funktion nach einer gewählten Variablen. Er unterstützt Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmen und deren Verkettungen.
Geben Sie Ihre Funktion und die Variable ein und wählen Sie die Ordnung der Ableitung. Der Rechner verwendet symbolische Differentiation und liefert exakte Ergebnisse in mathematischer Standardnotation.
So verwenden Sie den Ableitungsrechner
- Geben Sie Ihre Funktion in das Eingabefeld ein. Verwenden Sie Standardnotation wie x^2, sin(x), exp(x) oder ln(x).
- Wählen Sie die Variable, nach der differenziert werden soll (Standard ist x).
- Wählen Sie die Ordnung der Ableitung (1. Ableitung, 2. Ableitung usw.).
- Klicken Sie auf "Berechnen", um die Ableitung zu erhalten. Das Ergebnis wird in mathematischer Notation dargestellt.
Formel und Theorie
Die Ableitung einer Funktion beschreibt deren momentane Änderungsrate an einem bestimmten Punkt. Geometrisch entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen.
Grundlegende Ableitungsregeln umfassen die Potenzregel (d/dx von x^n = n*x^(n-1)), die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel. Die Kettenregel ist besonders wichtig für verkettete Funktionen: Wenn y = f(g(x)), dann ist dy/dx = f'(g(x)) * g'(x).
Höhere Ableitungen entstehen durch wiederholte Differentiation. Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung der Funktion und wird in der Physik als Beschleunigung interpretiert.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1: Ableitung eines Polynoms
Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1.
Lösung: Potenzregel auf jeden Term anwenden: f'(x) = 12x^3 - 4x + 5.
Antwort: f'(x) = 12x^3 - 4x + 5
Beispiel 2: Ableitung einer trigonometrischen Funktion
Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = sin(3x).
Lösung: Kettenregel anwenden: f'(x) = cos(3x) * 3 = 3cos(3x).
Antwort: f'(x) = 3cos(3x)
Beispiel 3: Zweite Ableitung
Aufgabe: Bestimmen Sie die zweite Ableitung von f(x) = x^3 - 6x.
Lösung: Erste Ableitung: f'(x) = 3x^2 - 6. Zweite Ableitung: f''(x) = 6x.
Antwort: f''(x) = 6x
Beispiel 4: Ableitung einer Exponentialfunktion
Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = e^(2x).
Lösung: Kettenregel anwenden: f'(x) = e^(2x) * 2 = 2e^(2x).
Antwort: f'(x) = 2e^(2x)