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Calculadora de Producto Cruz — Soluciones Paso a Paso

La Calculadora de Producto Cruz calcula el producto vectorial de dos vectores tridimensionales. El resultado es un vector perpendicular a ambos vectores de entrada. La calculadora ofrece cinco modos: Producto Cruz, Magnitud, Vector Unitario, Verificación de Paralelismo y Producto Punto.

Ingrese los tres componentes de cada vector y obtenga resultados instantáneos con el desarrollo paso a paso usando el método de determinantes.

Cómo usar la Calculadora de Producto Cruz

  1. Seleccione un modo de cálculo en las pestañas superiores. Los cinco modos son: Producto Cruz, Magnitud, Vector Unitario, Verificación de Paralelismo y Producto Punto.
  2. Ingrese los tres componentes del Vector a (a_x, a_y, a_z) y del Vector b (b_x, b_y, b_z) en los campos de entrada. Los resultados se actualizan al escribir.
  3. En modo Producto Cruz, la calculadora muestra el vector resultante a x b con el desarrollo paso a paso de la expansión del determinante.
  4. El modo Magnitud calcula |a x b|, que equivale al área del paralelogramo formado por ambos vectores.
  5. La Verificación de Paralelismo comprueba si los vectores son paralelos verificando que su producto cruz sea el vector nulo.

Fórmula y teoría

El producto cruz (también llamado producto vectorial) de dos vectores tridimensionales a y b produce un nuevo vector perpendicular a ambos. Se define como a x b = |a||b|sin(theta) n, donde theta es el ángulo entre los vectores y n es el vector unitario normal determinado por la regla de la mano derecha.

La forma más práctica de calcular el producto cruz es mediante el determinante de una matriz 3x3 cuya primera fila contiene los vectores unitarios i, j, k y cuyas filas segunda y tercera contienen los componentes de a y b. La expansión da: a x b = (a_y * b_z - a_z * b_y) i - (a_x * b_z - a_z * b_x) j + (a_x * b_y - a_y * b_x) k.

La magnitud del producto cruz |a x b| es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores. Dividido entre dos, da el área del triángulo que abarcan.

El producto cruz es anticonmutativo (a x b = -(b x a)), distributivo respecto a la suma, pero NO asociativo. El producto cruz de vectores paralelos siempre es el vector nulo.

En física, el producto cruz aparece en el torque (tau = r x F), momento angular (L = r x p) y la fuerza magnética sobre una partícula cargada (F = qv x B). En gráficos por computadora, calcula normales de superficie para iluminación.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Vectores base estándar

Problema: Calcule el producto cruz de i = (1, 0, 0) y j = (0, 1, 0).

Solución: Componente i = (0)(0) - (0)(1) = 0. Componente j = -((1)(0) - (0)(0)) = 0. Componente k = (1)(1) - (0)(0) = 1.

Respuesta: (0, 0, 1) = k

Ejemplo 2: Vectores 3D generales

Problema: Calcule (2, 3, 4) x (5, 6, 7).

Solución: i: (3)(7) - (4)(6) = -3. j: -((2)(7) - (4)(5)) = 6. k: (2)(6) - (3)(5) = -3.

Respuesta: (-3, 6, -3)

Ejemplo 3: Vectores paralelos dan el vector nulo

Problema: Calcule (2, 4, 6) x (1, 2, 3).

Solución: (2, 4, 6) = 2 * (1, 2, 3), los vectores son paralelos. Todos los componentes del producto cruz son cero.

Respuesta: (0, 0, 0)

Ejemplo 4: Cálculo de torque

Problema: Una fuerza F = (0, 0, 10) N se aplica en la posición r = (3, 0, 0) m. Calcule el torque.

Solución: tau = r x F. i: 0, j: -(30) = -30, k: 0.

Respuesta: (0, -30, 0) N*m

Preguntas frecuentes

¿Para qué se usa el producto cruz?
El producto cruz encuentra un vector perpendicular a dos vectores dados. Se usa en física para torque, momento angular y fuerza magnética. En gráficos por computadora calcula normales de superficie.
¿Es conmutativo el producto cruz?
No. El producto cruz es anticonmutativo: a x b = -(b x a). Intercambiar el orden de los vectores invierte la dirección del resultado.
¿Qué pasa al calcular el producto cruz de vectores paralelos?
El producto cruz de vectores paralelos es el vector nulo (0, 0, 0), ya que el ángulo entre ellos es 0 o 180 grados y sin(0) = sin(180) = 0.
¿Cuál es la diferencia entre producto cruz y producto punto?
El producto punto da un escalar (un número), el producto cruz da un vector perpendicular a ambas entradas. El producto punto usa coseno, el producto cruz usa seno del ángulo.
¿Qué es la regla de la mano derecha?
Apunte los dedos de su mano derecha a lo largo del vector a y cúrvelos hacia el vector b. Su pulgar apunta en la dirección de a x b.
¿Por qué el producto cruz solo se define en 3D?
El producto cruz requiere una dirección perpendicular única a ambos vectores de entrada. En 2D no hay tercera dimensión, y en 4D o más hay múltiples direcciones perpendiculares.