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Calculadora de Producto Cruz - Gratis en Linea

La Calculadora de Producto Cruz calcula el producto vectorial de dos vectores tridimensionales. El resultado es un vector perpendicular a ambos vectores de entrada. La calculadora ofrece cinco modos: Producto Cruz, Magnitud, Vector Unitario, Verificacion de Paralelismo y Producto Punto.

Ingrese los tres componentes de cada vector y obtenga resultados instantaneos con el desarrollo paso a paso usando el metodo de determinantes.

Como usar la Calculadora de Producto Cruz

  1. Seleccione un modo de calculo en las pestanas superiores. Los cinco modos son: Producto Cruz, Magnitud, Vector Unitario, Verificacion de Paralelismo y Producto Punto.
  2. Ingrese los tres componentes del Vector a (a_x, a_y, a_z) y del Vector b (b_x, b_y, b_z) en los campos de entrada. Los resultados se actualizan al escribir.
  3. En modo Producto Cruz, la calculadora muestra el vector resultante a x b con el desarrollo paso a paso de la expansion del determinante.
  4. El modo Magnitud calcula |a x b|, que equivale al area del paralelogramo formado por ambos vectores.
  5. La Verificacion de Paralelismo comprueba si los vectores son paralelos verificando que su producto cruz sea el vector nulo.

Formula y teoria

El producto cruz (tambien llamado producto vectorial) de dos vectores tridimensionales a y b produce un nuevo vector perpendicular a ambos. Se define como a x b = |a||b|sin(theta) n, donde theta es el angulo entre los vectores y n es el vector unitario normal determinado por la regla de la mano derecha.

La forma mas practica de calcular el producto cruz es mediante el determinante de una matriz 3x3 cuya primera fila contiene los vectores unitarios i, j, k y cuyas filas segunda y tercera contienen los componentes de a y b. La expansion da: a x b = (a_y * b_z - a_z * b_y) i - (a_x * b_z - a_z * b_x) j + (a_x * b_y - a_y * b_x) k.

La magnitud del producto cruz |a x b| es igual al area del paralelogramo formado por los dos vectores. Dividido entre dos, da el area del triangulo que abarcan.

El producto cruz es anticonmutativo (a x b = -(b x a)), distributivo respecto a la suma, pero NO asociativo. El producto cruz de vectores paralelos siempre es el vector nulo.

En fisica, el producto cruz aparece en el torque (tau = r x F), momento angular (L = r x p) y la fuerza magnetica sobre una particula cargada (F = qv x B). En graficos por computadora, calcula normales de superficie para iluminacion.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Vectores base estandar

Problema: Calcule el producto cruz de i = (1, 0, 0) y j = (0, 1, 0).

Solucion: Componente i = (0)(0) - (0)(1) = 0. Componente j = -((1)(0) - (0)(0)) = 0. Componente k = (1)(1) - (0)(0) = 1.

Respuesta: (0, 0, 1) = k

Ejemplo 2: Vectores 3D generales

Problema: Calcule (2, 3, 4) x (5, 6, 7).

Solucion: i: (3)(7) - (4)(6) = -3. j: -((2)(7) - (4)(5)) = 6. k: (2)(6) - (3)(5) = -3.

Respuesta: (-3, 6, -3)

Ejemplo 3: Vectores paralelos dan el vector nulo

Problema: Calcule (2, 4, 6) x (1, 2, 3).

Solucion: (2, 4, 6) = 2 * (1, 2, 3), los vectores son paralelos. Todos los componentes del producto cruz son cero.

Respuesta: (0, 0, 0)

Ejemplo 4: Calculo de torque

Problema: Una fuerza F = (0, 0, 10) N se aplica en la posicion r = (3, 0, 0) m. Calcule el torque.

Solucion: tau = r x F. i: 0, j: -(30) = -30, k: 0.

Respuesta: (0, -30, 0) N*m

Preguntas frecuentes

Para que se usa el producto cruz?
El producto cruz encuentra un vector perpendicular a dos vectores dados. Se usa en fisica para torque, momento angular y fuerza magnetica. En graficos por computadora calcula normales de superficie.
Es conmutativo el producto cruz?
No. El producto cruz es anticonmutativo: a x b = -(b x a). Intercambiar el orden de los vectores invierte la direccion del resultado.
Que pasa al calcular el producto cruz de vectores paralelos?
El producto cruz de vectores paralelos es el vector nulo (0, 0, 0), ya que el angulo entre ellos es 0 o 180 grados y sin(0) = sin(180) = 0.
Cual es la diferencia entre producto cruz y producto punto?
El producto punto da un escalar (un numero), el producto cruz da un vector perpendicular a ambas entradas. El producto punto usa coseno, el producto cruz usa seno del angulo.
Que es la regla de la mano derecha?
Apunte los dedos de su mano derecha a lo largo del vector a y curvelelos hacia el vector b. Su pulgar apunta en la direccion de a x b.
Por que el producto cruz solo se define en 3D?
El producto cruz requiere una direccion perpendicular unica a ambos vectores de entrada. En 2D no hay tercera dimension, y en 4D o mas hay multiples direcciones perpendiculares.