Calculadora de Probabilidad — Soluciones Paso a Paso

Una puntuación Z (también llamada valor estandarizado o z-score) mide cuántas desviaciones estándar un dato particular está por encima o debajo de la media de su distribución. La fórmula es z = (x - mu) / sigma, donde x es el valor observado, mu es la media poblacional y sigma la desviación estándar poblacional. Un Z de 2.0, por ejemplo, indica que el valor está exactamente dos desviaciones estándar por encima de la media. Las puntuaciones Z son adimensionales, lo que significa que eliminan las unidades originales y colocan cada medición en la misma escala universal.

La distribución normal estándar es la distribución de probabilidad con media 0 y desviación estándar 1. Cuando convierte un valor en una puntuación Z, está transformando la distribución original en la normal estándar. Esta transformación preserva la forma pero recentra en cero y reescala para que la dispersión sea uno. La curva normal estándar es simétrica alrededor de z = 0, y su área total bajo la curva es 1.

La fórmula Z puede reorganizarse según lo que necesite encontrar. Para hallar el valor desde un Z-score, use x = mu + z * sigma. La puntuación Z inversa (encontrar z desde una probabilidad acumulada) usa la inversa de la función de distribución acumulada, también llamada función cuantil o función probit. Por ejemplo, la CDF inversa de 0.975 da z = 1.96.

La regla 68-95-99.7 (también conocida como regla empírica o regla de tres sigma) resume cómo se distribuyen los datos en una distribución normal. Aproximadamente el 68.27% de todos los valores caen dentro de una desviación estándar de la media. Aproximadamente el 95.45% dentro de dos desviaciones estándar. Aproximadamente el 99.73% dentro de tres. Valores más allá de tres desviaciones estándar son extremadamente raros y a menudo se clasifican como atípicos.

Una tabla Z (también llamada tabla normal estándar) lista la probabilidad acumulada P(Z < z) para un rango de valores Z. Para leer la tabla, encuentre la fila que corresponde a los dos primeros dígitos de su Z-score y la columna que corresponde al dígito de centésimas. La intersección da la probabilidad de cola izquierda. Para probabilidades de cola derecha, reste el valor de la tabla de 1. Esta calculadora elimina la necesidad de tablas impresas.

Las puntuaciones Z se usan ampliamente en muchos campos. En educación, las puntuaciones de exámenes estandarizados como SAT e IQ se reportan usando transformaciones Z. En salud, las curvas de crecimiento infantil usan Z-scores. En finanzas, las puntuaciones Z sustentan los cálculos de Valor en Riesgo (VaR). En manufactura y control de calidad, las puntuaciones Z impulsan los programas Six Sigma.

La relación entre puntuaciones Z y valores p es central para las pruebas de hipótesis en estadística. Para una prueba bilateral al nivel de significancia del 5%, los Z-scores críticos son -1.96 y +1.96. Si el Z calculado cae fuera de este rango, se rechaza la hipótesis nula con 95% de confianza. Las puntuaciones Z también se conectan directamente con los intervalos de confianza: un intervalo de confianza del 95% usa z = 1.96.