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Calculadora de Integral Doble - Gratis en Linea

La Calculadora de Integral Doble evalua integrales de dos variables sobre regiones rectangulares y no rectangulares. Ingrese la funcion, los limites de integracion y obtenga el resultado con el procedimiento detallado.

La herramienta soporta regiones rectangulares, integrales iteradas con limites variables, cambio de orden de integracion y calculo de volumenes bajo superficies. Es ideal para cursos de calculo multivariable e ingenieria.

Como usar la Calculadora de Integral Doble

  1. Seleccione el modo de calculo: region rectangular, integral iterada, cambio de orden o volumen.
  2. Ingrese la funcion f(x, y) utilizando la notacion estandar (por ejemplo: x^2 + y^2, x*y, sin(x)*cos(y)).
  3. Especifique los limites de integracion para x e y.
  4. Haga clic en "Calcular" para obtener el resultado numerico con el procedimiento.

Formula y Teoria

La integral doble de una funcion f(x, y) sobre una region R calcula el volumen entre la superficie z = f(x, y) y el plano xy. Se escribe como la integral integral de f(x,y) dA sobre R.

El Teorema de Fubini permite calcular una integral doble como integrales iteradas: primero se integra respecto a una variable manteniendo la otra fija, y luego se integra el resultado respecto a la segunda variable. El orden de integracion puede cambiarse si los limites se ajustan correctamente.

Las aplicaciones de las integrales dobles incluyen el calculo de areas, volumenes, masas de laminas con densidad variable, momentos de inercia y centros de masa.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Integral sobre region rectangular

Problema: Calcule la integral doble de f(x,y) = x*y sobre la region [0,2] x [0,3].

Solucion: Integral de 0 a 2 de (integral de 0 a 3 de x*y dy) dx = integral de 0 a 2 de x*(9/2) dx = (9/2)*(4/2) = 9.

Respuesta: 9

Ejemplo 2: Integral con limites variables

Problema: Calcule la integral doble de f(x,y) = 1 sobre la region triangular con vertices (0,0), (1,0), (1,1).

Solucion: Integral de 0 a 1 de (integral de 0 a x de 1 dy) dx = integral de 0 a 1 de x dx = 1/2.

Respuesta: 1/2 (area del triangulo)

Ejemplo 3: Volumen bajo una superficie

Problema: Calcule el volumen bajo z = 4 - x^2 - y^2 sobre el cuadrado [0,1] x [0,1].

Solucion: Integral de 0 a 1 de (integral de 0 a 1 de (4-x^2-y^2) dy) dx = integral de 0 a 1 de (4-x^2-1/3) dx = 4 - 1/3 - 1/3 = 10/3.

Respuesta: 10/3 unidades cubicas

Preguntas Frecuentes

Cuando se puede cambiar el orden de integracion?
Segun el Teorema de Fubini, el orden puede cambiarse siempre que la funcion sea continua sobre la region de integracion (o al menos integrable). Al cambiar el orden, los limites de integracion deben recalcularse para describir la misma region.
Cual es la diferencia entre integral doble e integral iterada?
La integral doble es un concepto geometrico (volumen bajo una superficie). La integral iterada es el metodo de calculo: se realizan dos integraciones sucesivas. Fubini garantiza que ambas dan el mismo resultado bajo condiciones de continuidad.
Se pueden usar coordenadas polares en integrales dobles?
Si, para regiones circulares o con simetria radial conviene usar coordenadas polares: x = r*cos(theta), y = r*sin(theta), dA = r dr d(theta). Esto simplifica enormemente integrales como la de exp(-x^2-y^2).