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Calculadora de Derivadas Parciales — Soluciones Paso a Paso

La Calculadora de Derivadas Parciales calcula derivadas parciales de funciones con múltiples variables. Diferencia respecto a la variable elegida mientras trata todas las demás variables como constantes.

Ingrese una función multivariable (por ejemplo, x^2*y + sin(y)) y especifique respecto a cuál variable desea derivar. La calculadora usa diferenciación simbólica para dar resultados exactos.

Cómo usar la Calculadora de Derivadas Parciales

  1. Ingrese una función con múltiples variables (por ejemplo, x^2*y + sin(y)).
  2. Seleccione la variable respecto a la cual desea derivar parcialmente.
  3. Haga clic en "Calcular" para obtener la derivada parcial.
  4. El resultado muestra la derivada tratando todas las otras variables como constantes.

Fórmula y Teoría

Las derivadas parciales extienden el concepto de derivada a funciones de varias variables. Al derivar parcialmente respecto a una variable, todas las demás se tratan como constantes.

La notación para derivadas parciales usa el símbolo "del". Por ejemplo, del f/del x denota la derivada parcial de f respecto a x.

Las derivadas parciales son fundamentales en el análisis multivariable y tienen aplicaciones en física (termodinámica, electromagnetismo), optimización (método del gradiente) y geometría diferencial.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Derivada parcial respecto a x

Problema: Calcule del/del x de f(x, y) = x^2*y + 3x.

Solución: Se trata y como constante: del f/del x = 2x*y + 3.

Respuesta: del f/del x = 2xy + 3

Ejemplo 2: Derivada parcial respecto a y

Problema: Calcule del/del y de f(x, y) = x^2*y + sin(y).

Solución: Se trata x como constante: del f/del y = x^2 + cos(y).

Respuesta: del f/del y = x^2 + cos(y)

Ejemplo 3: Derivada parcial mixta

Problema: Calcule del^2/del x del y de f(x, y) = x^3*y^2.

Solución: Primero del f/del y = 2x^3*y. Luego del/del x de eso = 6x^2*y.

Respuesta: del^2 f/del x del y = 6x^2*y

Preguntas Frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre una derivada ordinaria y una parcial?
Una derivada ordinaria se aplica a funciones de una sola variable. Una derivada parcial se aplica a funciones de varias variables y mide la tasa de cambio respecto a una variable manteniendo las demás constantes.
¿Qué es el gradiente?
El gradiente es un vector que contiene todas las derivadas parciales de una función. Para f(x, y), el gradiente es (del f/del x, del f/del y). Apunta en la dirección de mayor crecimiento de la función.
¿Importa el orden en las derivadas parciales mixtas?
Según el teorema de Schwarz (Clairaut), para funciones suficientemente suaves, las derivadas parciales mixtas son iguales sin importar el orden de diferenciación.