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Zeilenstufenform-Rechner - Kostenlos Online

Der Zeilenstufenform-Rechner wandelt Matrizen in Zeilenstufenform (ZSF) und reduzierte Zeilenstufenform (RZSF) um. Er zeigt jeden Schritt der Gauss-Elimination mit Zeilenoperationen.

Geben Sie Ihre Matrix ein und erhalten Sie die umgewandelte Matrix mit Rang und Pivotpositionen.

Dimensions:

Enter matrix values

So verwenden Sie den Zeilenstufenform-Rechner

  1. Waehlen Sie einen Modus: Zeilenstufenform (ZSF), Reduzierte Zeilenstufenform (RZSF) oder Schritt-fuer-Schritt-Operationen.
  2. Waehlen Sie die Matrixgroesse: 2x2, 2x3, 3x3, 3x4 (erweitert) oder 4x4.
  3. Geben Sie die Matrixwerte in das Gitter ein. Leere Zellen werden als Null behandelt.
  4. Der Rechner wendet die Gauss-Elimination mit Pivotisierung an und zeigt jede Zeilenoperation.
  5. Ueberpruefen Sie die resultierende Matrix, den Rang und die Pivotspalten.

Formel und Theorie

Eine Matrix ist in Zeilenstufenform (ZSF), wenn alle Nullzeilen unten stehen, der fuehrende Eintrag (Pivot) jeder Nicht-Null-Zeile rechts vom Pivot der darueberliegenden Zeile liegt und alle Eintraege unter jedem Pivot null sind.

Eine Matrix ist in reduzierter Zeilenstufenform (RZSF), wenn zusaetzlich jeder Pivot 1 ist und der einzige von Null verschiedene Eintrag in seiner Spalte.

Die Gauss-Elimination transformiert eine Matrix in ZSF durch drei elementare Zeilenoperationen: Vertauschen zweier Zeilen, Multiplizieren einer Zeile mit einem Skalar und Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.

Die Gauss-Jordan-Elimination erweitert dies zur RZSF. Die RZSF ist fuer jede Matrix eindeutig.

Der Rang der Matrix entspricht der Anzahl der Pivotpositionen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: RZSF einer 2x2-Matrix

Aufgabe: Finden Sie die RZSF von [[2, 4], [1, 3]].

Loesung: R1 durch 1/2 teilen: [1, 2]. R2 = R2 - R1: [0, 1]. R1 = R1 - 2*R2: [1, 0].

Antwort: [[1, 0], [0, 1]]. Rang = 2.

Beispiel 2: ZSF einer 3x3-Matrix

Aufgabe: Finden Sie die ZSF von [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]].

Loesung: R2 = R2 - 4*R1, R3 = R3 - 7*R1. Dann skalieren und eliminieren.

Antwort: [[1, 2, 3], [0, 1, 2], [0, 0, 0]]. Rang = 2.

Beispiel 3: Erweiterte Matrix (3x4)

Aufgabe: Loesen Sie x + y + z = 6, 2x + 3y + z = 14, x + 2y + 3z = 14.

Loesung: Erweiterte Matrix [[1,1,1,6],[2,3,1,14],[1,2,3,14]] auf RZSF reduzieren.

Antwort: [[1,0,0,1],[0,1,0,2],[0,0,1,3]]. x=1, y=2, z=3.

Haeufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen ZSF und RZSF?
ZSF hat Nullen unter jedem Pivot. RZSF verlangt zusaetzlich, dass jeder Pivot 1 ist und der einzige Nicht-Null-Eintrag in seiner Spalte.
Ist die Zeilenstufenform eindeutig?
Nein, die ZSF ist nicht eindeutig. Die RZSF ist jedoch fuer jede Matrix eindeutig.
Was sagt der Rang aus?
Der Rang entspricht der Anzahl der Pivotpositionen und der Dimension des Spaltenraums. Fuer Ax = b hat das System eine eindeutige Loesung, wenn Rang(A) = Rang([A|b]) = n.
Was ist Pivotisierung?
Bei der Pivotisierung wird die Zeile mit dem betragsmaessig groessten Wert in der aktuellen Spalte als Pivotzeile gewaehlt, um Rundungsfehler zu reduzieren.