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Z-Wert-Rechner - Kostenlos Online

Der Z-Wert-Rechner berechnet den standardisierten Z-Score aus Rohwert, Mittelwert und Standardabweichung.

Der Z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert entfernt ist.

So verwenden Sie den Z-Wert-Rechner

  1. Waehlen Sie den Berechnungsmodus: "Z-Wert aus Rohwert" berechnet den Z-Score, "Rohwert aus Z-Wert" macht die Umkehrrechnung, "Wahrscheinlichkeit aus Z" bestimmt kumulative und Schwanzwahrscheinlichkeiten.
  2. Geben Sie Ihre Werte in die Eingabefelder ein. Der Rechner aktualisiert sofort.
  3. Ueberpruefen Sie die Ergebnisse und den Schritt-fuer-Schritt-Loesungsweg. Die Glockenkurve hebt den relevanten Bereich hervor.
  4. Verwenden Sie die Teilen-Funktion, um einen Link zu Ihrer Berechnung zu kopieren.

Formel und Theorie

Der Z-Wert (auch Standardwert genannt) misst, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt ueber oder unter dem Mittelwert einer Verteilung liegt. Die Formel lautet z = (x - mu) / sigma, wobei x der Rohwert, mu der Mittelwert und sigma die Standardabweichung ist.

Z-Werte ermoeglichen den Vergleich von Werten aus verschiedenen Verteilungen auf einer gemeinsamen Skala. Ein Z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert gleich dem Mittelwert ist. Etwa 68% der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung (z zwischen -1 und 1), 95% innerhalb zwei und 99.7% innerhalb drei Standardabweichungen.

Die Standardnormalverteilung hat Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Jede Normalverteilung kann durch Z-Transformation in die Standardnormalverteilung umgerechnet werden. Die kumulative Verteilungsfunktion gibt P(Z < z) an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Z-Wert berechnen

Aufgabe: Ein Schueler erreicht 85 Punkte bei einem Test mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 10.

Lösung: z = (85 - 70) / 10 = 15 / 10 = 1.5

Antwort: z = 1.5 (1.5 Standardabweichungen ueber dem Mittelwert)

Beispiel 2: Rohwert aus Z-Wert

Aufgabe: In einer Verteilung mit mu = 100 und sigma = 15: welcher Wert entspricht z = -2?

Lösung: x = mu + z * sigma = 100 + (-2) * 15 = 100 - 30 = 70

Antwort: x = 70

Beispiel 3: Wahrscheinlichkeit

Aufgabe: Welcher Anteil der Werte liegt unter z = 1.96?

Lösung: P(Z < 1.96) = 0.9750 (aus der Standardnormaltabelle).

Antwort: Etwa 97.5% liegen unter z = 1.96

Beispiel 4: Praxisbeispiel: Qualitaetskontrolle

Aufgabe: Schrauben haben eine mittlere Laenge von 50 mm mit sigma = 0.5 mm. Ab wann ist eine Schraube ein Ausreisser (|z| > 3)?

Lösung: x = mu + 3*sigma = 50 + 1.5 = 51.5 mm oder x = 50 - 1.5 = 48.5 mm.

Antwort: Ausreisser bei Laengen unter 48.5 mm oder ueber 51.5 mm

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet ein Z-Wert von 0?
Ein Z-Wert von 0 bedeutet, dass der Datenpunkt genau auf dem Mittelwert der Verteilung liegt. Er ist weder ueber- noch unterdurchschnittlich.
Koennen Z-Werte negativ sein?
Ja. Ein negativer Z-Wert zeigt an, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt. Zum Beispiel bedeutet z = -1.5, dass der Wert 1.5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert liegt.
Gilt die Z-Formel nur fuer Normalverteilungen?
Die Formel z = (x - mu) / sigma kann auf jede Verteilung angewandt werden, aber die Wahrscheinlichkeitsinterpretation (Standardnormaltabelle) gilt nur, wenn die zugrunde liegende Verteilung annaehernd normal ist.
Wie haengen Z-Werte und Perzentile zusammen?
Die kumulative Wahrscheinlichkeit P(Z < z) ergibt das Perzentil. z = 0 entspricht dem 50. Perzentil, z = 1.645 entspricht etwa dem 95. Perzentil.
Was ist ein guter Z-Wert?
Das haengt vom Kontext ab. Z-Werte zwischen -2 und 2 gelten als typisch. Werte jenseits von z = 3 oder z = -3 werden oft als Ausreisser betrachtet.