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Partielle Ableitung Rechner - Kostenlos Online

Der Partielle Ableitung Rechner berechnet partielle Ableitungen von Funktionen mit mehreren Variablen. Er differenziert nach der gewaehlten Variablen, waehrend alle anderen Variablen als Konstanten behandelt werden.

Geben Sie eine Funktion mehrerer Variablen ein (z.B. x^2*y + sin(y)) und geben Sie an, nach welcher Variablen differenziert werden soll. Der Rechner verwendet symbolische Differentiation fuer exakte Ergebnisse.

So verwenden Sie den Partielle Ableitung Rechner

  1. Geben Sie eine Funktion mit mehreren Variablen ein (z.B. x^2*y + sin(y)).
  2. Waehlen Sie die Variable, nach der partiell abgeleitet werden soll.
  3. Klicken Sie auf "Berechnen", um die partielle Ableitung zu erhalten.
  4. Das Ergebnis zeigt die Ableitung, wobei alle anderen Variablen als Konstanten behandelt wurden.

Formel und Theorie

Partielle Ableitungen erweitern das Konzept der Ableitung auf Funktionen mehrerer Variablen. Bei der partiellen Ableitung nach einer bestimmten Variablen werden alle anderen Variablen als Konstanten betrachtet.

Die Notation fuer partielle Ableitungen verwendet das Symbol "del" (ein Teilzeichen). Zum Beispiel bezeichnet "del f/del x" die partielle Ableitung von f nach x.

Partielle Ableitungen sind grundlegend fuer die mehrdimensionale Analysis und haben Anwendungen in der Physik (Thermodynamik, Elektromagnetismus), der Optimierung (Gradientenverfahren) und der Differentialgeometrie.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Partielle Ableitung nach x

Aufgabe: Berechnen Sie del/del x von f(x, y) = x^2*y + 3x.

Loesung: y wird als Konstante behandelt: del f/del x = 2x*y + 3.

Antwort: del f/del x = 2xy + 3

Beispiel 2: Partielle Ableitung nach y

Aufgabe: Berechnen Sie del/del y von f(x, y) = x^2*y + sin(y).

Loesung: x wird als Konstante behandelt: del f/del y = x^2 + cos(y).

Antwort: del f/del y = x^2 + cos(y)

Beispiel 3: Gemischte partielle Ableitung

Aufgabe: Berechnen Sie del^2/del x del y von f(x, y) = x^3*y^2.

Loesung: Zuerst del f/del y = 2x^3*y. Dann del/del x davon = 6x^2*y.

Antwort: del^2 f/del x del y = 6x^2*y

Haeufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einer gewoehnlichen und einer partiellen Ableitung?
Eine gewoehnliche Ableitung bezieht sich auf Funktionen einer Variablen. Eine partielle Ableitung bezieht sich auf Funktionen mehrerer Variablen und misst die Aenderungsrate bezueglich einer einzelnen Variablen, waehrend alle anderen konstant gehalten werden.
Was ist der Gradient?
Der Gradient ist ein Vektor, der alle partiellen Ableitungen einer Funktion enthaelt. Fuer f(x, y) ist der Gradient (del f/del x, del f/del y). Er zeigt in die Richtung des staerksten Anstiegs der Funktion.
Ist die Reihenfolge bei gemischten partiellen Ableitungen wichtig?
Nach dem Satz von Schwarz (Clairaut) sind die gemischten partiellen Ableitungen bei hinreichend glatten Funktionen gleich, unabhaengig von der Reihenfolge der Differentiation.