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Normalverteilungsrechner - Kostenlos Online

Der Normalverteilungsrechner berechnet Wahrscheinlichkeiten und Perzentile der Gaussschen Glockenkurve.

Geben Sie Mittelwert, Standardabweichung und Bereich ein.

So verwenden Sie den Normalverteilungsrechner

  1. Waehlen Sie den Modus: "Wahrscheinlichkeit zwischen" berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert zwischen zwei Grenzen liegt. "Perzentil" bestimmt den Prozentsatz der Werte unterhalb eines Wertes. "Inverse" findet den Wert zu einer gegebenen kumulativen Wahrscheinlichkeit.
  2. Geben Sie den Mittelwert (mu) und die Standardabweichung (sigma) Ihrer Normalverteilung ein.
  3. Geben Sie die zusaetzlichen Eingaben ein, die Ihr gewaehlter Modus erfordert.
  4. Ueberpruefen Sie die Ergebnisse, den Loesungsweg und die Glockenkurve mit schattiertem Bereich.

Formel und Theorie

Die Normalverteilung (auch Gausssche Verteilung) ist die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. Sie wird durch zwei Parameter definiert: den Mittelwert (mu), der das Zentrum bestimmt, und die Standardabweichung (sigma), die die Streuung festlegt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in einen bestimmten Bereich faellt, entspricht der Flaeche unter der Kurve zwischen den Grenzen. Da die CDF keine geschlossene Form hat, wird sie numerisch berechnet.

Wichtige Eigenschaften: Die Verteilung ist symmetrisch um den Mittelwert, Mittelwert = Median = Modus. Die 68-95-99.7-Regel besagt, dass etwa 68% der Werte innerhalb einer, 95% innerhalb zwei und 99.7% innerhalb drei Standardabweichungen liegen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Werten

Aufgabe: IQ-Werte folgen einer Normalverteilung mit mu = 100 und sigma = 15. Welcher Anteil hat einen IQ zwischen 85 und 115?

Loesung: Z-Transformation: z1 = (85-100)/15 = -1, z2 = (115-100)/15 = 1. P(-1 < Z < 1) = 0.6827.

Antwort: Etwa 68.27% haben einen IQ zwischen 85 und 115

Beispiel 2: Perzentilberechnung

Aufgabe: Bei mu = 50 und sigma = 8: welches Perzentil ist ein Wert von 62?

Loesung: z = (62-50)/8 = 1.5. P(Z < 1.5) = 0.9332.

Antwort: Ein Wert von 62 liegt am 93.32. Perzentil

Beispiel 3: Inverse Normalverteilung

Aufgabe: Koerpergroesse von Maennern: mu = 175 cm, sigma = 7 cm. Welche Groesse markiert die oberen 10%?

Loesung: 90. Perzentil: z = 1.2816. Groesse = 175 + 1.2816 * 7 = 183.97 cm.

Antwort: Die oberen 10% sind groesser als etwa 184 cm

Beispiel 4: Praxisbeispiel: Produktionstoleranz

Aufgabe: Schraubenlaenge mu = 25 mm, sigma = 0.2 mm. Welcher Anteil liegt zwischen 24.6 und 25.4 mm?

Loesung: z1 = (24.6-25)/0.2 = -2, z2 = (25.4-25)/0.2 = 2. P(-2 < Z < 2) = 0.9544.

Antwort: Etwa 95.44% der Schrauben liegen im Toleranzbereich

Haeufig gestellte Fragen

Was ist die 68-95-99.7-Regel?
In einer Normalverteilung liegen etwa 68% der Daten innerhalb einer Standardabweichung, 95% innerhalb zwei und 99.7% innerhalb drei Standardabweichungen vom Mittelwert. Dies ermoeglicht schnelle Wahrscheinlichkeitsschaetzungen.
Was ist die Standardnormalverteilung?
Die Standardnormalverteilung ist der Spezialfall mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Jede Normalverteilung kann durch Z-Transformation umgerechnet werden.
Woran erkenne ich, ob meine Daten normalverteilt sind?
Visuelle Methoden (Histogramm, Q-Q-Plot) oder formale Tests (Shapiro-Wilk, Anderson-Darling) koennen verwendet werden. Viele natuerliche Phaenomene sind dank des zentralen Grenzwertsatzes annaehernd normalverteilt.
Kann die Normalverteilung negative Werte erzeugen?
Ja. Die Normalverteilung erstreckt sich theoretisch von minus unendlich bis plus unendlich. Bei der Modellierung nicht-negativer Groessen (z.B. Koerpergroesse) funktioniert sie als Naeherung, wenn der Mittelwert mehrere Standardabweichungen ueber null liegt.
Welche numerische Methode verwendet dieser Rechner?
Dieser Rechner verwendet die Abramowitz-Stegun-Approximation fuer die kumulative Verteilungsfunktion und den Acklam-Algorithmus fuer die inverse CDF, beide mit einer Genauigkeit von mindestens 8 signifikanten Stellen.