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Kreuzproduktrechner - Kostenlos Online

Der Kreuzproduktrechner berechnet das Vektorprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren. Das Ergebnis ist ein Vektor, der senkrecht auf beiden Eingabevektoren steht. Der Rechner bietet fuenf Modi: Kreuzprodukt, Betrag, Einheitsvektor, Parallelitaetspruefung und Skalarprodukt.

Geben Sie die drei Komponenten jedes Vektors ein und erhalten Sie sofortige Ergebnisse mit schrittweiser Herleitung ueber die Determinantenmethode.

So verwenden Sie den Kreuzproduktrechner

  1. Waehlen Sie einen Berechnungsmodus aus den Registerkarten oben. Die fuenf Modi sind: Kreuzprodukt, Betrag, Einheitsvektor, Parallelitaetspruefung und Skalarprodukt.
  2. Geben Sie die drei Komponenten von Vektor a (a_x, a_y, a_z) und Vektor b (b_x, b_y, b_z) in die Eingabefelder ein. Die Ergebnisse werden sofort aktualisiert.
  3. Im Kreuzprodukt-Modus zeigt der Rechner den Ergebnisvektor a x b mit schrittweiser Herleitung ueber die Determinantenentwicklung.
  4. Der Betragsmodus berechnet |a x b|, was der Flaeche des von beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht.
  5. Die Parallelitaetspruefung testet, ob die Vektoren parallel sind, indem geprueft wird, ob das Kreuzprodukt der Nullvektor ist.

Formel und Theorie

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) zweier dreidimensionaler Vektoren a und b erzeugt einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden steht. Es ist definiert als a x b = |a||b|sin(theta) n, wobei theta der Winkel zwischen den Vektoren und n der Einheitsnormalenvektor nach der Rechte-Hand-Regel ist.

Die praktischste Methode zur Berechnung ist die Determinante einer 3x3-Matrix, deren erste Zeile die Einheitsvektoren i, j, k enthaelt und deren zweite und dritte Zeile die Komponenten von a und b. Die Entwicklung ergibt: a x b = (a_y * b_z - a_z * b_y) i - (a_x * b_z - a_z * b_x) j + (a_x * b_y - a_y * b_x) k.

Der Betrag des Kreuzprodukts |a x b| entspricht der Flaeche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Halbiert ergibt sich die Dreiecksflaeche.

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ (a x b = -(b x a)), distributiv ueber Addition, aber NICHT assoziativ. Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist stets der Nullvektor.

In der Physik tritt das Kreuzprodukt beim Drehmoment (tau = r x F), Drehimpuls (L = r x p) und bei der Lorentzkraft (F = qv x B) auf. In der Computergrafik berechnet es Oberflaechennormalen fuer Beleuchtung.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Standardbasisvektoren

Aufgabe: Berechnen Sie das Kreuzprodukt von i = (1, 0, 0) und j = (0, 1, 0).

Loesung: i-Komponente = (0)(0) - (0)(1) = 0. j-Komponente = -((1)(0) - (0)(0)) = 0. k-Komponente = (1)(1) - (0)(0) = 1.

Antwort: (0, 0, 1) = k

Beispiel 2: Allgemeine 3D-Vektoren

Aufgabe: Berechnen Sie (2, 3, 4) x (5, 6, 7).

Loesung: i: (3)(7) - (4)(6) = -3. j: -((2)(7) - (4)(5)) = 6. k: (2)(6) - (3)(5) = -3.

Antwort: (-3, 6, -3)

Beispiel 3: Parallele Vektoren ergeben den Nullvektor

Aufgabe: Berechnen Sie (2, 4, 6) x (1, 2, 3).

Loesung: (2, 4, 6) = 2 * (1, 2, 3), die Vektoren sind parallel. Alle Komponenten des Kreuzprodukts sind Null.

Antwort: (0, 0, 0)

Beispiel 4: Drehmoment berechnen

Aufgabe: Eine Kraft F = (0, 0, 10) N wirkt am Punkt r = (3, 0, 0) m. Berechnen Sie das Drehmoment.

Loesung: tau = r x F. i: 0, j: -(30) = -30, k: 0.

Antwort: (0, -30, 0) N*m

Haeufig gestellte Fragen

Wofuer wird das Kreuzprodukt verwendet?
Das Kreuzprodukt findet einen Vektor senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren. Es wird in der Physik fuer Drehmoment, Drehimpuls und Magnetkraft verwendet. In der Computergrafik berechnet es Oberflaechennormalen.
Ist das Kreuzprodukt kommutativ?
Nein. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: a x b = -(b x a). Das Vertauschen der Reihenfolge kehrt die Richtung des Ergebnisses um.
Was passiert beim Kreuzprodukt paralleler Vektoren?
Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist der Nullvektor (0, 0, 0), da der Winkel zwischen ihnen 0 oder 180 Grad betraegt und sin(0) = sin(180) = 0.
Was ist der Unterschied zwischen Kreuzprodukt und Skalarprodukt?
Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl (Skalar), das Kreuzprodukt einen Vektor senkrecht zu beiden Eingaben. Das Skalarprodukt verwendet Kosinus, das Kreuzprodukt Sinus des Winkels.
Was ist die Rechte-Hand-Regel?
Richten Sie die Finger der rechten Hand entlang Vektor a und kruemmen Sie sie zu Vektor b. Der Daumen zeigt in Richtung von a x b.
Warum ist das Kreuzprodukt nur in 3D definiert?
Das Kreuzprodukt erfordert eine eindeutige senkrechte Richtung zu beiden Eingabevektoren. In 2D gibt es keine dritte Dimension, in 4D und hoeher gibt es mehrere senkrechte Richtungen.