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Komplexe-Zahlen-Rechner - Kostenlos Online

Der Komplexe-Zahlen-Rechner fuehrt Berechnungen mit komplexen Zahlen durch: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Betrag und Polarform.

Geben Sie komplexe Zahlen in der Form a + bi ein.

First complex number (a + bi):

Second complex number (c + di):

So verwenden Sie den Komplexe-Zahlen-Rechner

  1. Waehlen Sie den Berechnungsmodus: Arithmetik, Betrag und Konjugierte, Polarform, Potenzen und Wurzeln, oder Euler-Form.
  2. Geben Sie den Realteil und den Imaginaerteil Ihrer komplexen Zahl(en) ein.
  3. Fuer arithmetische Operationen waehlen Sie die gewuenschte Rechenart (Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division).
  4. Das Ergebnis wird mit Schritt-fuer-Schritt-Loesung in KaTeX-Notation angezeigt.

Formel und Theorie

Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + bi, wobei a der Realteil, b der Imaginaerteil und i die imaginaere Einheit mit i^2 = -1 ist. Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen und ermoeglichen das Loesen von Gleichungen wie x^2 + 1 = 0.

Der Betrag |z| = sqrt(a^2 + b^2) gibt den Abstand zum Ursprung in der Gaussschen Zahlenebene an. Die konjugiert komplexe Zahl z* = a - bi hat den gleichen Betrag, aber entgegengesetztes Vorzeichen des Imaginaerteils.

Jede komplexe Zahl kann in Polarform als z = r*(cos(theta) + i*sin(theta)) geschrieben werden, wobei r der Betrag und theta das Argument ist. Die Euler-Formel verbindet dies mit der Exponentialform: e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta).

Der Satz von De Moivre ermoeglicht effizientes Potenzieren: [r*cis(theta)]^n = r^n * cis(n*theta). Damit lassen sich auch n-te Wurzeln komplexer Zahlen berechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Komplexe Multiplikation

Aufgabe: (3 + 2i)(1 - 4i)

Loesung: 3 - 12i + 2i - 8i^2 = 3 - 10i + 8 = 11 - 10i

Antwort: 11 - 10i

Beispiel 2: Betrag berechnen

Aufgabe: |3 + 4i|

Loesung: sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25)

Antwort: 5

Beispiel 3: Polarform

Aufgabe: 1 + i in Polarform umwandeln

Loesung: r = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2). theta = arctan(1/1) = 45 Grad.

Antwort: sqrt(2) * cis(45 Grad)

Beispiel 4: Praxisbeispiel: Wechselstrom

Aufgabe: Impedanz Z = 3 + 4j Ohm. Berechnen Sie den Betrag und den Phasenwinkel.

Loesung: |Z| = sqrt(9 + 16) = 5 Ohm. theta = arctan(4/3) = 53.13 Grad.

Antwort: |Z| = 5 Ohm, Phasenwinkel = 53.13 Grad

Haeufig gestellte Fragen

Was ist die imaginaere Einheit i?
Die imaginaere Einheit i ist definiert als i^2 = -1. Sie ermoeglicht das Rechnen mit Wurzeln aus negativen Zahlen, was im Bereich der reellen Zahlen nicht moeglich ist.
Wofuer braucht man komplexe Zahlen?
Komplexe Zahlen sind unverzichtbar in der Elektrotechnik (Wechselstromkreise), Quantenmechanik, Signalverarbeitung, Regelungstechnik und bei der Loesung algebraischer Gleichungen.
Was bedeutet konjugiert komplex?
Die konjugiert komplexe Zahl z* = a - bi entsteht durch Vorzeichenwechsel des Imaginaerteils. Das Produkt z * z* = a^2 + b^2 ist immer eine reelle Zahl. Konjugierte werden bei der Division komplexer Zahlen verwendet.
Was ist die Euler-Formel?
Die Euler-Formel lautet e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta). Sie verbindet die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen und ist eine der elegantesten Formeln der Mathematik.
Wie dividiert man komplexe Zahlen?
Man multipliziert Zaehler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. Dadurch wird der Nenner reell und das Ergebnis kann als a + bi geschrieben werden.