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Gleichungssystem-Rechner — Schritt-für-Schritt-Lösungen

Der Gleichungssystem-Rechner löst lineare Gleichungssysteme mit beliebig vielen Unbekannten.

Geben Sie Koeffizienten und Konstanten ein. Gauß-Algorithmus mit Schritt-für-Schritt-Lösung.

Enter coefficients for the system: a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂

Equation 1

Equation 2

So verwenden Sie den Gleichungssystem-Rechner

  1. Wählen Sie den Modus: 2x2-System (zwei Gleichungen, zwei Unbekannte), 3x3-System (drei Gleichungen, drei Unbekannte), Einsetzungsverfahren oder Matrixmethode.
  2. Geben Sie die Koeffizienten für jede Gleichung ein. Für ein 2x2-System geben Sie a, b und c für jede Gleichung der Form ax + by = c ein.
  3. Die formatierten Gleichungen werden unter den Eingabefeldern angezeigt, damit Sie Ihre Eingabe prüfen können.
  4. Überprüfen Sie die Schritt-für-Schritt-Lösung, um die Lösungsmethode zu verstehen.

Formel und Theorie

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Gleichungen mit denselben Variablen. Die Lösung ist die Wertemenge, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

Ein 2x2-System hat drei mögliche Ergebnisse: eine eindeutige Lösung (die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt), keine Lösung (die Geraden sind parallel), oder unendlich viele Lösungen (die Geraden fallen zusammen). Die Determinante der Koeffizientenmatrix bestimmt den Fall.

Die Cramersche Regel liefert eine direkte Formel mittels Determinanten. Der Gauß-Algorithmus transformiert die erweiterte Koeffizientenmatrix systematisch in Zeilenstufenform und löst dann durch Rücksubstitution.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Einfaches 2x2-System

Aufgabe: 2x + 3y = 12 und x - y = 1

Lösung: D = 2*(-1) - 1*3 = -5. D_x = 12*(-1) - 1*3 = -15. D_y = 2*1 - 12*1 = -10. x = 3, y = 2.

Antwort: x = 3, y = 2

Beispiel 2: System ohne Lösung

Aufgabe: x + 2y = 4 und 2x + 4y = 5

Lösung: D = 1*4 - 2*2 = 0. Die Gleichungen sind nicht proportional. System ist inkonsistent.

Antwort: Keine Lösung (parallele Geraden)

Beispiel 3: 3x3-System

Aufgabe: x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2

Lösung: Cramersche Regel mit 3x3-Determinanten anwenden.

Antwort: x = 1, y = 2, z = 3

Beispiel 4: Praxisbeispiel: Mischungsaufgabe

Aufgabe: Ein Chemiker mischt zwei Lösungen: x Liter mit 30% und y Liter mit 60%. Er benötigt 10 Liter mit 42%.

Lösung: 0.3x + 0.6y = 4.2 und x + y = 10. Einsetzung: x = 10 - y. 0.3(10-y) + 0.6y = 4.2. y = 4, x = 6.

Antwort: x = 6 Liter, y = 4 Liter

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Gleichungssystem?
Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit denselben Unbekannten, die gleichzeitig erfüllt werden müssen. Die Lösung gibt die Werte aller Unbekannten an.
Wann hat ein System keine Lösung?
Ein System hat keine Lösung, wenn die Gleichungen widersprüchlich sind, also wenn sie parallele Geraden (2D) oder parallele Ebenen (3D) darstellen, die sich nie schneiden.
Was ist die Cramersche Regel?
Die Cramersche Regel berechnet die Lösung eines Gleichungssystems mithilfe von Determinanten. Für jede Variable ersetzt man die entsprechende Spalte der Koeffizientenmatrix durch den Konstantenvektor und dividiert die Determinante durch die Systemdeterminante.
Was ist der Gauß-Algorithmus?
Der Gauß-Algorithmus transformiert die erweiterte Koeffizientenmatrix durch elementare Zeilenoperationen in Zeilenstufenform. Anschließend werden die Variablen durch Rücksubstitution bestimmt.
Was ist das Einsetzungsverfahren?
Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst und dieser Ausdruck in die andere Gleichung eingesetzt. So entsteht eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.