Zum Inhalt springen

Gleichungssystem-Rechner - Kostenlos Online

Der Gleichungssystem-Rechner loest lineare Gleichungssysteme mit beliebig vielen Unbekannten.

Geben Sie Koeffizienten und Konstanten ein. Gauss-Algorithmus mit Schritt-fuer-Schritt-Loesung.

Enter coefficients for the system: a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂

Equation 1

Equation 2

So verwenden Sie den Gleichungssystem-Rechner

  1. Waehlen Sie den Modus: 2x2-System (zwei Gleichungen, zwei Unbekannte), 3x3-System (drei Gleichungen, drei Unbekannte), Einsetzungsverfahren oder Matrixmethode.
  2. Geben Sie die Koeffizienten fuer jede Gleichung ein. Fuer ein 2x2-System geben Sie a, b und c fuer jede Gleichung der Form ax + by = c ein.
  3. Die formatierten Gleichungen werden unter den Eingabefeldern angezeigt, damit Sie Ihre Eingabe pruefen koennen.
  4. Ueberpruefen Sie die Schritt-fuer-Schritt-Loesung, um die Loesungsmethode zu verstehen.

Formel und Theorie

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Gleichungen mit denselben Variablen. Die Loesung ist die Wertemenge, die alle Gleichungen gleichzeitig erfuellt.

Ein 2x2-System hat drei moegliche Ergebnisse: eine eindeutige Loesung (die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt), keine Loesung (die Geraden sind parallel), oder unendlich viele Loesungen (die Geraden fallen zusammen). Die Determinante der Koeffizientenmatrix bestimmt den Fall.

Die Cramersche Regel liefert eine direkte Formel mittels Determinanten. Der Gauss-Algorithmus transformiert die erweiterte Koeffizientenmatrix systematisch in Zeilenstufenform und loest dann durch Ruecksubstitution.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Einfaches 2x2-System

Aufgabe: 2x + 3y = 12 und x - y = 1

Loesung: D = 2*(-1) - 1*3 = -5. D_x = 12*(-1) - 1*3 = -15. D_y = 2*1 - 12*1 = -10. x = 3, y = 2.

Antwort: x = 3, y = 2

Beispiel 2: System ohne Loesung

Aufgabe: x + 2y = 4 und 2x + 4y = 5

Loesung: D = 1*4 - 2*2 = 0. Die Gleichungen sind nicht proportional. System ist inkonsistent.

Antwort: Keine Loesung (parallele Geraden)

Beispiel 3: 3x3-System

Aufgabe: x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2

Loesung: Cramersche Regel mit 3x3-Determinanten anwenden.

Antwort: x = 1, y = 2, z = 3

Beispiel 4: Praxisbeispiel: Mischungsaufgabe

Aufgabe: Ein Chemiker mischt zwei Loesungen: x Liter mit 30% und y Liter mit 60%. Er benoetigt 10 Liter mit 42%.

Loesung: 0.3x + 0.6y = 4.2 und x + y = 10. Einsetzung: x = 10 - y. 0.3(10-y) + 0.6y = 4.2. y = 4, x = 6.

Antwort: x = 6 Liter, y = 4 Liter

Haeufig gestellte Fragen

Was ist ein Gleichungssystem?
Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit denselben Unbekannten, die gleichzeitig erfuellt werden muessen. Die Loesung gibt die Werte aller Unbekannten an.
Wann hat ein System keine Loesung?
Ein System hat keine Loesung, wenn die Gleichungen widerspruechlich sind, also wenn sie parallele Geraden (2D) oder parallele Ebenen (3D) darstellen, die sich nie schneiden.
Was ist die Cramersche Regel?
Die Cramersche Regel berechnet die Loesung eines Gleichungssystems mithilfe von Determinanten. Fuer jede Variable ersetzt man die entsprechende Spalte der Koeffizientenmatrix durch den Konstantenvektor und dividiert die Determinante durch die Systemdeterminante.
Was ist der Gauss-Algorithmus?
Der Gauss-Algorithmus transformiert die erweiterte Koeffizientenmatrix durch elementare Zeilenoperationen in Zeilenstufenform. Anschliessend werden die Variablen durch Ruecksubstitution bestimmt.
Was ist das Einsetzungsverfahren?
Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgeloest und dieser Ausdruck in die andere Gleichung eingesetzt. So entsteht eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.