Eigenwertrechner - Kostenlos Online

Der Eigenwertrechner berechnet die Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen. Geben Sie eine 2x2 oder 3x3 Matrix ein und erhalten Sie alle Eigenwerte (einschliesslich komplexer) sowie die zugehoerigen Eigenvektoren.

Eigenwerte und Eigenvektoren sind grundlegende Konzepte der linearen Algebra mit Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen, Informatik, Statistik und vielen weiteren Bereichen.

Enter the 2\u00d72 matrix elements:

a\u2081\u2081

a\u2081\u2082

a\u2082\u2081

a\u2082\u2082

\u03bb\u2081

\u03bb\u2082

Trace

Determinant

So verwenden Sie den Eigenwertrechner

Waehlen Sie die Groesse der Matrix (2x2 oder 3x3).
Geben Sie die Matrixeintraege in die Felder ein.
Klicken Sie auf "Berechnen", um Eigenwerte und Eigenvektoren zu erhalten.
Die Ergebnisse zeigen alle Eigenwerte mit den zugehoerigen Eigenvektoren.

Formel und Theorie

Ein Eigenwert lambda einer Matrix A ist eine Zahl, fuer die es einen Vektor v ungleich Null gibt mit: A*v = lambda*v. Der Vektor v heisst Eigenvektor zum Eigenwert lambda.

Eigenwerte werden durch Loesen der charakteristischen Gleichung det(A - lambda*I) = 0 bestimmt, wobei I die Einheitsmatrix ist. Fuer eine 2x2 Matrix ergibt sich eine quadratische Gleichung, fuer eine 3x3 Matrix eine kubische.

Eigenvektoren werden gefunden, indem fuer jeden Eigenwert lambda das homogene Gleichungssystem (A - lambda*I)*v = 0 geloest wird. Die Menge aller Eigenvektoren zu einem Eigenwert bildet den Eigenraum.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Eigenwerte einer 2x2 Matrix

Aufgabe: Finden Sie die Eigenwerte von A = [[4, 1], [2, 3]].

Loesung: Charakteristische Gleichung: det([[4-lambda, 1], [2, 3-lambda]]) = (4-lambda)(3-lambda) - 2 = lambda^2 - 7*lambda + 10 = 0. Loesungen: lambda = 5 und lambda = 2.

Antwort: lambda_1 = 5, lambda_2 = 2

Beispiel 2: Eigenvektoren bestimmen

Aufgabe: Finden Sie die Eigenvektoren von A = [[2, 1], [0, 3]].

Loesung: Eigenwerte: lambda_1 = 2, lambda_2 = 3. Fuer lambda_1 = 2: (A-2I)v = 0 ergibt v = t*(1, 0). Fuer lambda_2 = 3: (A-3I)v = 0 ergibt v = t*(1, 1).

Antwort: v_1 = (1, 0), v_2 = (1, 1)

Beispiel 3: Komplexe Eigenwerte

Aufgabe: Finden Sie die Eigenwerte von A = [[0, -1], [1, 0]].

Loesung: Charakteristische Gleichung: lambda^2 + 1 = 0. Loesungen: lambda = i und lambda = -i.

Antwort: lambda_1 = i, lambda_2 = -i (komplexe Eigenwerte)

Haeufig gestellte Fragen

Kann eine Matrix komplexe Eigenwerte haben?

Ja, reelle Matrizen koennen komplexe Eigenwerte haben. Sie treten immer als konjugiert komplexe Paare auf (a+bi und a-bi). Zum Beispiel hat eine Rotationsmatrix rein komplexe Eigenwerte.

Was sagen Eigenwerte ueber eine Matrix aus?

Eigenwerte beschreiben, wie die Matrix Vektoren in Richtung der Eigenvektoren skaliert. Ein Eigenwert von 2 bedeutet eine Verdopplung, -1 eine Umkehrung. Die Determinante ist das Produkt aller Eigenwerte, die Spur ihre Summe.

Was ist Diagonalisierung?

Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhaengige Eigenvektoren besitzt. Dann kann A als P*D*P^(-1) geschrieben werden, wobei D die Diagonalmatrix der Eigenwerte und P die Matrix der Eigenvektoren ist.