Zum Inhalt springen

Doppelter Integralrechner - Kostenlos Online

Der Doppelte Integralrechner berechnet Integrale von Funktionen mit zwei Variablen ueber rechteckige Bereiche. Er verwendet verschachtelte numerische Integration fuer genaue Ergebnisse.

Geben Sie eine Funktion mit zwei Variablen (z.B. x und y) ein, legen Sie die Grenzen fuer jede Variable fest und der Rechner berechnet das Doppelintegral. Dies ist nuetzlich fuer die Berechnung von Volumina, Oberflaecheninhalten und anderen mehrdimensionalen Groessen.

So verwenden Sie den Doppelten Integralrechner

  1. Geben Sie eine Funktion mit zwei Variablen ein (z.B. x^2 + y^2).
  2. Legen Sie die Integrationsgrenzen fuer die aeussere Variable fest (z.B. x von a bis b).
  3. Legen Sie die Integrationsgrenzen fuer die innere Variable fest (z.B. y von c bis d).
  4. Klicken Sie auf "Berechnen", um das Doppelintegral numerisch auszuwerten.

Formel und Theorie

Ein Doppelintegral berechnet das Volumen zwischen dem Graphen einer Funktion f(x, y) und der xy-Ebene ueber einem bestimmten Bereich. Fuer rechteckige Bereiche kann es als iteriertes Integral geschrieben werden.

Der Satz von Fubini besagt, dass bei stetigen Funktionen die Reihenfolge der Integration vertauscht werden darf, ohne das Ergebnis zu aendern.

Numerisch wird das Doppelintegral durch verschachtelte Anwendung der Simpsonschen Regel berechnet, wobei zunaechst die innere und dann die aeussere Integration durchgefuehrt wird.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Doppelintegral eines Polynoms

Aufgabe: Berechnen Sie das Doppelintegral von x*y ueber [0,1] x [0,2].

Loesung: Inneres Integral: Integral von 0 bis 2 von x*y dy = x*[y^2/2] von 0 bis 2 = 2x. Aeusseres Integral: Integral von 0 bis 1 von 2x dx = [x^2] von 0 bis 1 = 1.

Antwort: 1

Beispiel 2: Volumenberechnung

Aufgabe: Berechnen Sie das Doppelintegral von x^2 + y^2 ueber [0,1] x [0,1].

Loesung: Integral von 0 bis 1 von Integral von 0 bis 1 von (x^2 + y^2) dy dx = Integral von 0 bis 1 von (x^2 + 1/3) dx = 1/3 + 1/3 = 2/3.

Antwort: 2/3 (ungefaehr 0,667)

Beispiel 3: Doppelintegral mit Konstante

Aufgabe: Berechnen Sie das Doppelintegral von 5 ueber [0,3] x [0,4].

Loesung: Das Integral einer Konstante ueber ein Rechteck ist die Konstante mal die Flaeche: 5 * 3 * 4 = 60.

Antwort: 60

Haeufig gestellte Fragen

Was ist ein Doppelintegral?
Ein Doppelintegral erweitert das Konzept des einfachen Integrals auf Funktionen mit zwei Variablen. Es berechnet das Volumen unter einer Flaeche ueber einem bestimmten Bereich in der xy-Ebene.
Was ist der Satz von Fubini?
Der Satz von Fubini besagt, dass bei stetigen Funktionen die Reihenfolge der Integration vertauscht werden kann. Das bedeutet, Sie koennen zuerst nach x oder nach y integrieren und erhalten dasselbe Ergebnis.
Koennen Doppelintegrale auch ueber nicht-rechteckige Bereiche berechnet werden?
Ja, Doppelintegrale koennen ueber beliebige Bereiche berechnet werden, indem die Integrationsgrenzen als Funktionen der aeusseren Variablen angegeben werden. Dieser Rechner beschraenkt sich auf rechteckige Bereiche.