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Binomialrechner - Kostenlos Online

Der Binomialrechner berechnet Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung fuer n Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Ergebnisse: P(X=k), P(X<=k), P(X>=k), Erwartungswert und Standardabweichung.

So verwenden Sie den Binomialrechner

  1. Waehlen Sie den Modus: "Exakte P(X=k)" berechnet die Wahrscheinlichkeit fuer genau k Erfolge, "Kumulativ (<=k)" summiert von 0 bis k, "Kumulativ (>=k)" summiert von k bis n, "Erwartungswert" liefert Mittelwert, Varianz und Standardabweichung.
  2. Geben Sie die Anzahl der Versuche (n) und die Erfolgswahrscheinlichkeit (p, zwischen 0 und 1) ein. Fuer andere Modi als Erwartungswert geben Sie auch die Anzahl der Erfolge (k) ein.
  3. Ergebnisse erscheinen sofort, einschliesslich eines Balkendiagramms, das die Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellt.
  4. Ueberpruefen Sie den Schritt-fuer-Schritt-Loesungsweg, um die Anwendung der Binomialformel zu verstehen.

Formel und Theorie

Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl unabhaengiger Versuche, wobei jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat. Sie benoetigt zwei Parameter: n (Anzahl der Versuche) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch).

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), wobei C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) der Binomialkoeffizient ist. Diese Formel zaehlt die Moeglichkeiten, k Erfolge auszuwaehlen, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisfolge.

Der Erwartungswert ist E(X) = n*p, die Varianz Var(X) = n*p*(1-p) und die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz. Fuer grosse n und p nicht zu nahe an 0 oder 1 naehert sich die Binomialverteilung einer Normalverteilung an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Exakte Wahrscheinlichkeit

Aufgabe: Eine Muenze wird 10-mal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit fuer genau 7 Koepfe?

Loesung: n = 10, k = 7, p = 0.5. P(X=7) = C(10,7) * 0.5^7 * 0.5^3 = 120 * 0.0078125 * 0.125 = 0.1172.

Antwort: P(X=7) = 0.1172 (etwa 11.72%)

Beispiel 2: Kumulative Wahrscheinlichkeit

Aufgabe: Ein Multiple-Choice-Test hat 20 Fragen mit je 4 Antworten. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, durch Raten hoechstens 8 richtig zu haben?

Loesung: n = 20, p = 0.25, k = 8. Summe P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=8).

Antwort: P(X <= 8) = 0.9591 (etwa 95.91%)

Beispiel 3: Erwartungswert

Aufgabe: Ein fairer Wuerfel wird 60-mal geworfen. Wie viele Sechsen sind zu erwarten?

Loesung: n = 60, p = 1/6. E(X) = 60 * (1/6) = 10. Var(X) = 60 * (1/6) * (5/6) = 8.333.

Antwort: Erwartungswert = 10, Standardabweichung = 2.887

Beispiel 4: Praxisbeispiel: Qualitaetskontrolle

Aufgabe: Eine Produktionslinie hat eine Fehlerrate von 2%. In einer Stichprobe von 50 Stueck: wie wahrscheinlich sind 0 Fehler?

Loesung: n = 50, p = 0.02, k = 0. P(X=0) = C(50,0) * 0.02^0 * 0.98^50 = 0.98^50 = 0.3642.

Antwort: P(X=0) = 0.3642 (etwa 36.42%)

Haeufig gestellte Fragen

Wann sollte ich die Binomialverteilung verwenden?
Verwenden Sie sie, wenn Sie eine feste Anzahl unabhaengiger Versuche haben, jeder Versuch genau zwei Ergebnisse hat (Erfolg/Misserfolg) und die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant ist.
Was ist der Unterschied zwischen exakter und kumulativer Wahrscheinlichkeit?
Die exakte Wahrscheinlichkeit P(X=k) ist die Chance fuer genau k Erfolge. Die kumulative Wahrscheinlichkeit P(X<=k) ist die Chance fuer k oder weniger Erfolge, berechnet durch Summation aller exakten Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k.
Kann n sehr gross sein?
Ja, aber die Berechnung kann fuer extrem grosses n langsam werden. Fuer grosses n wird oft die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur verwendet.
Was passiert bei p = 0 oder p = 1?
Bei p = 0 scheitert jeder Versuch, P(X=0) = 1. Bei p = 1 gelingt jeder Versuch, P(X=n) = 1. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten sind 0.
Wann kann ich die Normalapproximation verwenden?
Die Normalapproximation ist sinnvoll, wenn n*p >= 5 und n*(1-p) >= 5. Verwenden Sie mu = n*p und sigma = sqrt(n*p*(1-p)) mit Stetigkeitskorrektur.