Ableitungsrechner - Kostenlos Online

Der Ableitungsrechner berechnet die Ableitung jeder mathematischen Funktion nach einer gewaehlten Variablen. Er unterstuetzt Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmen und deren Verkettungen.

Geben Sie Ihre Funktion und die Variable ein und waehlen Sie die Ordnung der Ableitung. Der Rechner verwendet symbolische Differentiation und liefert exakte Ergebnisse in mathematischer Standardnotation.

f(x)

Variable

So verwenden Sie den Ableitungsrechner

Geben Sie Ihre Funktion in das Eingabefeld ein. Verwenden Sie Standardnotation wie x^2, sin(x), exp(x) oder ln(x).
Waehlen Sie die Variable, nach der differenziert werden soll (Standard ist x).
Waehlen Sie die Ordnung der Ableitung (1. Ableitung, 2. Ableitung usw.).
Klicken Sie auf "Berechnen", um die Ableitung zu erhalten. Das Ergebnis wird in mathematischer Notation dargestellt.

Formel und Theorie

Die Ableitung einer Funktion beschreibt deren momentane Aenderungsrate an einem bestimmten Punkt. Geometrisch entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen.

Grundlegende Ableitungsregeln umfassen die Potenzregel (d/dx von x^n = n*x^(n-1)), die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel. Die Kettenregel ist besonders wichtig fuer verkettete Funktionen: Wenn y = f(g(x)), dann ist dy/dx = f'(g(x)) * g'(x).

Hoehere Ableitungen entstehen durch wiederholte Differentiation. Die zweite Ableitung beschreibt die Kruemmung der Funktion und wird in der Physik als Beschleunigung interpretiert.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Ableitung eines Polynoms

Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1.

Loesung: Potenzregel auf jeden Term anwenden: f'(x) = 12x^3 - 4x + 5.

Antwort: f'(x) = 12x^3 - 4x + 5

Beispiel 2: Ableitung einer trigonometrischen Funktion

Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = sin(3x).

Loesung: Kettenregel anwenden: f'(x) = cos(3x) * 3 = 3cos(3x).

Antwort: f'(x) = 3cos(3x)

Beispiel 3: Zweite Ableitung

Aufgabe: Bestimmen Sie die zweite Ableitung von f(x) = x^3 - 6x.

Loesung: Erste Ableitung: f'(x) = 3x^2 - 6. Zweite Ableitung: f''(x) = 6x.

Antwort: f''(x) = 6x

Beispiel 4: Ableitung einer Exponentialfunktion

Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = e^(2x).

Loesung: Kettenregel anwenden: f'(x) = e^(2x) * 2 = 2e^(2x).

Antwort: f'(x) = 2e^(2x)

Haeufig gestellte Fragen

Was ist eine Ableitung?

Eine Ableitung misst die momentane Aenderungsrate einer Funktion. Sie gibt die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt an.

Was ist die Kettenregel?

Die Kettenregel wird zur Ableitung verketteter Funktionen verwendet. Wenn y = f(g(x)), dann ist dy/dx = f'(g(x)) * g'(x). Zum Beispiel: Die Ableitung von sin(x^2) ist cos(x^2) * 2x.

Wie berechne ich hoehere Ableitungen?

Hoehere Ableitungen entstehen durch wiederholte Differentiation. Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung, die dritte Ableitung ist die Ableitung der zweiten Ableitung und so weiter.

Wann ist eine Funktion nicht differenzierbar?

Eine Funktion ist an Stellen mit Knicken, Spruengen oder senkrechten Tangenten nicht differenzierbar. Auch an Definitionsluecken existiert keine Ableitung.